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无穷集合、无穷数列、无尽小数、无穷级数的问题，都涉及无穷的概念。这个概念存在着两千多年来的实无穷与潜无穷的两个不同观点的争论，恩格斯在《反杜林论》第一编“五、自然哲学、时间和空间”一节的，48页讲到：“杜林先生，永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性。无限性是一个矛盾，而且充满着矛盾。无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样”[1]；在《自然辩证法》228页恩格斯讲道：“数学家的方法常常奇怪的得到正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了[2]”。事实上，所有无穷集合集合，都是以元素个数为有限自然数且其元素个数个数数列的趋向性广义极限为+∞的的有穷集合序列的趋向性的想象性的非正常集合。这些非正常集合具有永远不能构造完毕的性质；如果把这些趋向性的想象性数量的无穷集合看做“完成了的整体的实无穷集合”就是推向极端的，造成了“有理数集合与其真子集的自然数集合人元素个数相等的谬论”。所以，对无穷序列必须知道“它们既具有无限延续下去的性质，又具有永远延续不到底的性质”。
现行数学研究中的 “点的无有大小、线没有粗细”的概念是忽略了测量、绘图工作中，“点出的点足够小”抽象出来的理想概念，欧几里德平行线公理也是如此，所以就存在着①线段的绝对准二等分、十等分做不到，无限次等分更做不到的事实，从这个事实出发酒消除了芝诺二分法悖论；也存在着②“已知三角形三边长，无法算出三个角和绝对准等于平角的现象”；③无尽小数本来是理想实数的针对误差界序列 得到近似值数列，这些数列具有写不到底、算不到底的性质，但现行数学理论，不顾“无限纯粹是由有限组成的的事实”，提出了“无尽小数是实数的定义”，这样就造成了布劳威尔提出的反例与康托尔提出的连续统假设的大难题。详细叙述请参看笔者的著作《全能近似分析数学理论基础及其应用》。总之，根据恩格斯的论述，我们必须知道：无穷性质自然数集合是元素个数趋向于+∞的的的趋向性的想象性的非正常集合，它是构不成的想象性集合。想象性无穷集合的元素个数不是自然数，它是不可数的；它纯粹是是有限自然数集合组成的；有限自然数集合的元素个数是有限自然数，是可数的。对[0,1]也是如此，现行的实数集合也是想象性的不可构成的集合，无尽循环小数0.999……不等于1，而是理想实数1，的近似值无穷数列0.9，0.99，0.999，……。在准确到两位小数近似的意义下，区间[0,1]可以是0.00，0.01，，0.02，……0.99，1.00，的101个有理数的可数集合；在准确到四位小数近似的意义下，区间[0,1]可以是0.0000，0.0001，，0.0002，……0.9999，1.0000，的10001个有理数的可数集合。总之，数学理论需要以实践为基础，不能单靠形式逻，还需要使用辑唯物辩证法进行阐述。下文，讨论二进制小数与哥德巴赫猜想的问题。
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发表于 2021-11-15 21:52
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