2 无尽小数的概念与布劳威尔反例的消除

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2 无尽小数的概念与布劳威尔反例的消除
无穷集合、无穷数列、无尽小数、无穷级数的问题，都涉及无穷的概念。这个概念存在着两千多年来的实无穷与潜无穷的两个不同观点的争论，马克思在上述讨论导数极限方法的19页讨论了无穷级数就与无尽小数的关系。这个讨论是从1被3 除法运算开始的，他在除了两步除法得到0.33之后，就发现了这个除法的永远除不尽、每一步都得出数字3的事实，所以他提出了1/3是它的无穷级数 的前n项和的无穷数列0.3,0.33,0.333,……的趋向性极限的论述。这个论述与恩格斯在《反杜林论》第一编“五、自然哲学、时间和空间”一节的，48页讲到：“杜林先生，永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性。无限性是一个矛盾，而且充满着矛盾。无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样”[1]是一致的。这说明：无尽小数0.333……与无穷级数的无穷都是恩格斯说的“无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样”的说法是正确的，也说明马克思的“极限值具有达不到的趋向性”说法是正确的。但不幸的是：十九世纪七十年代之后的数学家不是这样（他们可能不知道马克思、恩格斯的论述），其中康托尔说的是“无穷数列0.3,0.33,0.333,……是1/3的一个代表”；维尔斯特拉斯说的是“无尽小数等于实数，其中无尽小数0.333……等于1/3”。这种对待无尽即对待无穷的观点违背了“无穷是无有穷尽、无有终了的事实”；π、√2等的其它无尽小数表达式也有如此的错误。这种错误导致了无法解决的布劳威尔提出的的三分律反例。关于这个反例，笔者增进指出：由于π的无尽小数展开式3.1416926……具有永远算不到底的性质，这个展开式中的① 这个展开式中没有“百零排”；② 这个展开式中有奇数多个“百零排”；③ 这个展开式中有偶数多个“百零排”的三个命题，都是不可判断的命题，布劳威尔不能使用两次排中律与矛盾律，得到，①、②、③“有且只有”一种情况的结论，不能得出他那个违反实数三分律实数Q。现在， 根据恩格斯在《自然辩证法》228页恩格斯讲道：“数学家的方法常常奇怪的得到正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了[2]”的论述，就需要把无尽小数看做是其极限值的实数的针对误差界数列 的不足近似值的无穷数列，而且根据这些数列具有永远写不到底的性质；需要使用数列中的有尽小数近似表示对应实数的大小；这样一来，布劳威尔反例就被“无尽小数的位数只能是有限位（虽然在不同的精度要求下，位数可以是不同的有限位）”消除了。