线性微分方程组可求解必须以矩阵可对角化为前提么？

wufaxian

课本中没明文说，但是老师课上说了一句，矩阵A可对角化，我们就可以用矩阵的特征值和特征向量求解微分方程组。言下之意可对角化是前提？可是我想就算无法对角化，无非就是n阶方阵无法找到n个独立的特征向量。但是我有n-1，或n-2(总之独立特征向量数量不等于零)，那么下图的关系仍然存在。就还能找到若干\(e^{λt }\)x的单纯解。这样不还是能求出方程组的通解么？但是最终“可能”无法通过初值确定单纯解前面的系数。因为每个特征向量是n维的，但是单纯解的数量小于n，矩阵的行数大于列数。系数c可能无解，也可能存在一个解系。对么？



比如下面这道题，特征向量“不足”，并没有用有限的单纯解，按照上文的思路解题。而是通过引入非单纯解t\(e^{t}\)来求得一个“通解”。问题是该题是一般性？还是普遍性？



如果具有普遍性，是不是只需要将上面的范例4当作一个证明过程。我们需要掌握的是当矩阵特征值是重根时解的表达式如下图。其中A和B需要根据初值确定。