二阶微分方程组应该怎么用特征值求解？

wufaxian

请看上图，前面大部分都没有问题。就是最后红框部分，其中黄色高亮区域是如何得出的？问题本质是二次微分方程组如何通过特征值特征向量求解？考虑到前后两问矩阵A完全一样。那么我们是否可以采用如下方法求二次微分方程的特征值？
既然
\(\frac{du}{dt}=\lambda e^{\lambda t}x=Ae^{\lambda t}x\) 成立。可以证明\(e^{\lambda t}x\)是u的一个单纯粹解

那么是否可以认为他也是二次微分方程组的解。于是有
\(\frac{d^2u}{d^2t}=\lambda^2e^{\lambda t}x=Ae^{\lambda t}x\)
那么\(\lambda^2\)就是A的特征值。就等于\(\lambda^2\)=-2；\(\lambda^2\)=-2-\(\sqrt{2}\)；\(\lambda^2\)=-2+\(\sqrt{2}\)

然后求出六个\(\lambda\)代入\(e^{\lambda t}x\)得到u的单纯解。当然求A的特征向量还是用-2；-2-\(\sqrt{2}\)；-2+\(\sqrt{2}\)来求。

这样做对么？