变化一下赛题的条件

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-11-23 05:54
（十）  将（七）中57X^13871+115Y^38743=203Z^78269中的3个大指数恢复成擂台方程的指数，看一看如何？
13 ...

老师，早上好！您辛苦了！要注意休息啊！
擂台赛题有解，慢慢的探索就是了，别累着。

yangchuanju

（十一）打擂了——最后一击！
求不定方程15753X^13871+23785Y^38743=12383Z^78269的最小正整数解和通式

擂台不定方程的3个系数和3个指数分解式
15753=3*59*89
23785=5*67*71
12383=7*29*61
13871=11*13*97
38743=17*43*53
78269=23*41*83
6参数各含3个素因子，6*3=18素因子互不相同。

不定方程的系数必须全部转入解的相关素因子之中；
假定不定方程解的结构是
X=3^c1*5^d1*7^e1*29^f1*59^g1*61^h1*67^i1*71^j1*89^k1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
Y=3^c2*5^d2*7^e2*29^f2*59^g2*61^h2*67^i2*71^j2*89^k2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
Z=3^c3*5^d3*7^e3*29^f3*59^g3*61^h3*67^i3*71^j3*89^k3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。
3的指数不定方程：13871*c1+1=38743*c2=78269*c3
5的指数不定方程：13871*d1=38743*d2+1=78269*d3
7的指数不定方程：13871*e1=38743*e2=78269*e3+1
29的指数不定方程：13871*f1=38743*f2=78269*f3+1
59的指数不定方程：13871*g1+1=38743*g2=78269*g3
61的指数不定方程：13871*h1=38743*h2=78269*h3+1
67的指数不定方程：13871*i1=38743*i2+1=78269*i3
71的指数不定方程：13871*j1=38743*j2+1=78269*j3
89的指数不定方程：13871*k1+1=38743*k2=78269*k3

仿例题，设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式：
13871*s1=38743*s2=78269*s3-2
13871*t1=38743*t2-2=78269*t3
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。
取u等于X项的指数13871。

按理说，应该对9个素因子3-89的指数不定方程组分别求解，尽管难度很大，但理论上是能够求出的。
然而本题的三个指数，三个系数之中没有一个共同因子（6数皆互素），最小公倍数高达2*10^26，
对于本题可将不定方程的解改为：
X=15753^c1*23785^d1*12383^e1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
Y=15753^c2*23785^d2*12383^e2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
Z=15753^c3*23785^d3*12383^e3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3


X^13871=15753^(13871*c1)*23785^(13871*d1)*12383^(13871*e1)*…
Y^38743=15753^(38743*c2)*23785^(38743*d2)*12383^(38743*e2)*…
Z^78269=15753^(78269*c3)*23785^(78269*d3)*12383^(78269*e3)*…
15753X^13871=15753^(13871*c1+1)*23785^(13871*d1)*12383^(13871*e1)*…
23785Y^38743=15753^(38743*c2)*23785^(38743*d2+1)*12383^(38743*e2)*…
12383Z^78269=15753^(78269*c3)*23785^(78269*d3)*12383^(78269*e3+1)*…

由于同底数的幂次数应相等，故有
13871*c1+1=38743*c2=78269*c3
38743*d2+1=78269*d3=13871*d1
78269*e3+1=13871*e1=38743*e2
还是要解指数不定方程，只不过9个变成3个了。

13871*c1+1=38743*c2=78269*c3，c2=78269/38743*c3，c1=(78269*c3-1)/13871
38743*d2+1=78269*d3=13871*d1，d3=13871/78269*d1，d2=(13871*d1-1)/38743
78269*e3+1=13871*e1=38743*e2，e1=38743/13871*e2，e3=(38743*e2-1)/78269

本楼只一个符号错误，已改正！

yangchuanju

（接上楼）
分别解5组指数不定方程可得
c1        2503989127        d1        78425538        e1        449961202
c2        896493126        d2        28078379        e2        161097794
c3        443762322        d3        13898742        e3        79743089

s1        2132453463        t1        2875524791        u        13871
s2        763473711        t2        1029512541               
s3        377917975        t3        509606669               

将16个参数分别代入X、Y、Z可得擂台不定方程的最小正整数解是：
X=15753^c1*23785^d1*12383^e1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
Y=15753^c2*23785^d2*12383^e2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
Z=15753^c3*23785^d3*12383^e3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3

本楼的s1,s2,s3,t1,t2,t3数据有误，需重新计算后改正！
重新计算后s1,s2,s3数值未变，仅t1,t2,t3数值发生了变化！
t1,t2,t3的数值已改正！

yangchuanju

（接上楼）
三项式不定方程一旦有解，则其解还是周期出现的，在解方程过程中可同时求出它们的周期。
c1        3032375867        d1        3032375867        e1        3032375867
c2        1085669299        d2        1085669299        e2        1085669299
c3        537404153        d3        537404153        e3        537404153

s1        3032375867        t1        3032375867
s2        1085669299        t2        1085669299
s3        537404153        t3        537404153

再加上周期数，擂台不定方程的正整数解是：
X=15753^(2503989127+3032375867k)*23785^(78425538+3032375867k)*12383^(449961202+3032375867k)*a*b*[(a^13871+b^13871) /2]^(2132453463+3032375867k)*[(a^13871－b^13871 ) /2]^(2875524791+3032375867k)

Y=15753^(896493126+1085669299k) *23785^(28078379+1085669299k)*12383^(161097794+1085669299k) *[(a^13871+b^13871) /2]^(763473711+1085669299k) *[(a^13871－b^13871 ) /2]^(1029512541+1085669299k)

Z=15753^(443762322+537404153k)*23785^(13898742+537404153k) *12383^(79743089+537404153k)*[(a^13871+b^13871) /2]^(377917975+537404153k)*[(a^13871－b^13871 ) /2]^(509606669+537404153k)

其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶；k为0或正整数，当k=0时即为最小正整数解。

或者将底数15753、23785、12383各自分解成3素因子乘积，但相应指数不变。

本楼的s1,s2,s3,t1,t2,t3数据有误，需重新计算后改正！
重新计算后s1,s2,s3数值未变，仅涉及t1,t2,t3的数值发生了变化！
涉及t1,t2,t3的数值已改正！

yangchuanju

感谢鲁老师的鼓励和支持！
鲁老师当起了啦啦队队长了！

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-11-23 09:34
感谢鲁老师的鼓励和支持！
鲁老师当起了啦啦队队长了！

杨老师真厉害啊！您的擂台赛题的答案，我初步的看了，就是这种形式，学生抽时间学习，现在我上班的。

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2021-11-22 14:00
一、试解以下不定方程
X^11+Y^13=Z^17
不定方程各项系数都是1，指数是互素的三个素数。

改正声明：
本表凡是“t2+2”都错了，需改为“t2-2”，相应的以下得数全错！
一个符号搞错，以下的指数不定方程解(t1,t2,t3)、解的验证、X,Y,Z,X^11,Y^13,Z^17、X^11+Y^13全部数据都错！
这里只修改并重发（一）的解题过程，（二）至（十）也都有类似错误，不再一一修改，仅修改（十一）中的错误！

重发6楼（一）
一、试解以下不定方程
X^11+Y^13=Z^17
不定方程各项系数都是1，指数是互素的三个素数。
假定不定方程解的结构是
X=a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
Y=[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
Z=[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3
其中，a、b、u为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶；。

仿例题，设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式：
11*s1=13*s2=17*s3-2
11*t1=13*t2-2=17*t3
s1,s2,s3；t1,t2,t3都是正整数.
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。

11*s1=13*s2=17*s3-2，给定s1，s2=11*s1/13，s3=(11*s1+2)/17
11*t1=13*t2-2=17*t3，给定t1，t3=11*t1/17，t2=(11*t1+2)/13
解得两不定方程组的最小解分别是：
s1=91, s2=77, s3=59
t1=170, t2=144, t3=110

验证
11*s1=11*91=1001,13*s2=13*77=1001,17*s3=17*59=1003
11*t1=11*170=1870, 13*t2=13*144=1872,  17*t3=17*110=1870
取u等于X的指数11，
X=a*b*[(a^11+b^11) /2]^91*[(a^11－b^11 ) /2]^170
Y=[(a^11+b^11) /2]^77*[(a^11－b^11 ) /2]^144
Z=[(a^11+b^11) /2]^59*[(a^11－b^11 ) /2]^110
X^11=a^11*b^11*[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11－b^11 ) /2]^1870
Y^13=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11－b^11 ) /2]^1872
Z^17=[(a^11+b^11) /2]^1003*[(a^11－b^11 ) /2]^1870
X^11+Y^13=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11－b^11 ) /2]^1870*{a^11*b^11+[(a^11－b^11 ) /2]^2}
=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11－b^11 ) /2]^1870*[(a^11+b^11 ) /2]^2=[(a^11+b^11) /2]^1003*[(a^11－b^11 ) /2]^1870=Z^17
不定方程的解正确！

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-11-26 06:40
改正声明：
本表凡是“t2+2”都错了，需改为“t2-2”，相应的以下得数全错！
一个符号搞错，以下的指数 ...

老师您好:
您是数圣剑客重量级人物，您的数学超希尔伯特费马等人！
一般规律，在解完方程之后一定要验根，杨老师在这方面做的很好！以后学生我好好向您学习，谢谢老师！