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楼主: 费尔马1

变化一下赛题的条件

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 楼主| 发表于 2021-11-23 06:36 | 显示全部楼层
yangchuanju 发表于 2021-11-23 05:54
(十)  将(七)中57X^13871+115Y^38743=203Z^78269中的3个大指数恢复成擂台方程的指数,看一看如何?
13 ...

老师,早上好!您辛苦了!要注意休息啊!
擂台赛题有解,慢慢的探索就是了,别累着。
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发表于 2021-11-23 08:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-26 08:00 编辑

(十一)打擂了——最后一击!
求不定方程15753X^13871+23785Y^38743=12383Z^78269的最小正整数解和通式

擂台不定方程的3个系数和3个指数分解式
15753=3*59*89
23785=5*67*71
12383=7*29*61
13871=11*13*97
38743=17*43*53
78269=23*41*83
6参数各含3个素因子,6*3=18素因子互不相同。

不定方程的系数必须全部转入解的相关素因子之中;
假定不定方程解的结构是
X=3^c1*5^d1*7^e1*29^f1*59^g1*61^h1*67^i1*71^j1*89^k1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u-b^u ) /2]^t1
Y=3^c2*5^d2*7^e2*29^f2*59^g2*61^h2*67^i2*71^j2*89^k2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u-b^u ) /2]^t2
Z=3^c3*5^d3*7^e3*29^f3*59^g3*61^h3*67^i3*71^j3*89^k3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u-b^u ) /2]^t3
其中,a、b为正整数,a>b,a、b同奇或同偶。
3的指数不定方程:13871*c1+1=38743*c2=78269*c3
5的指数不定方程:13871*d1=38743*d2+1=78269*d3
7的指数不定方程:13871*e1=38743*e2=78269*e3+1
29的指数不定方程:13871*f1=38743*f2=78269*f3+1
59的指数不定方程:13871*g1+1=38743*g2=78269*g3
61的指数不定方程:13871*h1=38743*h2=78269*h3+1
67的指数不定方程:13871*i1=38743*i2+1=78269*i3
71的指数不定方程:13871*j1=38743*j2+1=78269*j3
89的指数不定方程:13871*k1+1=38743*k2=78269*k3

仿例题,设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式:
13871*s1=38743*s2=78269*s3-2
13871*t1=38743*t2-2=78269*t3
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。
取u等于X项的指数13871。

按理说,应该对9个素因子3-89的指数不定方程组分别求解,尽管难度很大,但理论上是能够求出的。
然而本题的三个指数,三个系数之中没有一个共同因子(6数皆互素),最小公倍数高达2*10^26,
对于本题可将不定方程的解改为:
X=15753^c1*23785^d1*12383^e1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u-b^u ) /2]^t1
Y=15753^c2*23785^d2*12383^e2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u-b^u ) /2]^t2
Z=15753^c3*23785^d3*12383^e3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u-b^u ) /2]^t3


X^13871=15753^(13871*c1)*23785^(13871*d1)*12383^(13871*e1)*…
Y^38743=15753^(38743*c2)*23785^(38743*d2)*12383^(38743*e2)*…
Z^78269=15753^(78269*c3)*23785^(78269*d3)*12383^(78269*e3)*…
15753X^13871=15753^(13871*c1+1)*23785^(13871*d1)*12383^(13871*e1)*…
23785Y^38743=15753^(38743*c2)*23785^(38743*d2+1)*12383^(38743*e2)*…
12383Z^78269=15753^(78269*c3)*23785^(78269*d3)*12383^(78269*e3+1)*…

由于同底数的幂次数应相等,故有
13871*c1+1=38743*c2=78269*c3
38743*d2+1=78269*d3=13871*d1
78269*e3+1=13871*e1=38743*e2
还是要解指数不定方程,只不过9个变成3个了。

13871*c1+1=38743*c2=78269*c3,c2=78269/38743*c3,c1=(78269*c3-1)/13871
38743*d2+1=78269*d3=13871*d1,d3=13871/78269*d1,d2=(13871*d1-1)/38743
78269*e3+1=13871*e1=38743*e2,e1=38743/13871*e2,e3=(38743*e2-1)/78269

本楼只一个符号错误,已改正!

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发表于 2021-11-23 08:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-26 08:55 编辑

(接上楼)
分别解5组指数不定方程可得
c1        2503989127        d1        78425538        e1        449961202
c2        896493126        d2        28078379        e2        161097794
c3        443762322        d3        13898742        e3        79743089

s1        2132453463        t1        2875524791        u        13871
s2        763473711        t2        1029512541               
s3        377917975        t3        509606669               

将16个参数分别代入X、Y、Z可得擂台不定方程的最小正整数解是:
X=15753^c1*23785^d1*12383^e1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u-b^u ) /2]^t1
Y=15753^c2*23785^d2*12383^e2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u-b^u ) /2]^t2
Z=15753^c3*23785^d3*12383^e3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u-b^u ) /2]^t3

本楼的s1,s2,s3,t1,t2,t3数据有误,需重新计算后改正!
重新计算后s1,s2,s3数值未变,仅t1,t2,t3数值发生了变化!
t1,t2,t3的数值已改正!

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发表于 2021-11-23 08:43 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-26 09:02 编辑

(接上楼)
三项式不定方程一旦有解,则其解还是周期出现的,在解方程过程中可同时求出它们的周期。
c1        3032375867        d1        3032375867        e1        3032375867
c2        1085669299        d2        1085669299        e2        1085669299
c3        537404153        d3        537404153        e3        537404153

s1        3032375867        t1        3032375867
s2        1085669299        t2        1085669299
s3        537404153        t3        537404153

再加上周期数,擂台不定方程的正整数解是:
X=15753^(2503989127+3032375867k)*23785^(78425538+3032375867k)*12383^(449961202+3032375867k)*a*b*[(a^13871+b^13871) /2]^(2132453463+3032375867k)*[(a^13871-b^13871 ) /2]^(2875524791+3032375867k)

Y=15753^(896493126+1085669299k) *23785^(28078379+1085669299k)*12383^(161097794+1085669299k) *[(a^13871+b^13871) /2]^(763473711+1085669299k) *[(a^13871-b^13871 ) /2]^(1029512541+1085669299k)

Z=15753^(443762322+537404153k)*23785^(13898742+537404153k) *12383^(79743089+537404153k)*[(a^13871+b^13871) /2]^(377917975+537404153k)*[(a^13871-b^13871 ) /2]^(509606669+537404153k)

其中,a、b为正整数,a>b,a、b同奇或同偶;k为0或正整数,当k=0时即为最小正整数解。

或者将底数15753、23785、12383各自分解成3素因子乘积,但相应指数不变。

本楼的s1,s2,s3,t1,t2,t3数据有误,需重新计算后改正!
重新计算后s1,s2,s3数值未变,仅涉及t1,t2,t3的数值发生了变化!
涉及t1,t2,t3的数值已改正!


点评

啊,鼓掌  发表于 2021-11-23 09:27
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发表于 2021-11-23 09:34 | 显示全部楼层
感谢鲁老师的鼓励和支持!
鲁老师当起了啦啦队队长了!
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 楼主| 发表于 2021-11-23 10:54 | 显示全部楼层
yangchuanju 发表于 2021-11-23 09:34
感谢鲁老师的鼓励和支持!
鲁老师当起了啦啦队队长了!

杨老师真厉害啊!您的擂台赛题的答案,我初步的看了,就是这种形式,学生抽时间学习,现在我上班的。
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发表于 2021-11-26 06:40 | 显示全部楼层
yangchuanju 发表于 2021-11-22 14:00
一、试解以下不定方程
X^11+Y^13=Z^17
不定方程各项系数都是1,指数是互素的三个素数。

改正声明:
本表凡是“t2+2”都错了,需改为“t2-2”,相应的以下得数全错!
一个符号搞错,以下的指数不定方程解(t1,t2,t3)、解的验证、X,Y,Z,X^11,Y^13,Z^17、X^11+Y^13全部数据都错!
这里只修改并重发(一)的解题过程,(二)至(十)也都有类似错误,不再一一修改,仅修改(十一)中的错误!

重发6楼(一)
一、试解以下不定方程
X^11+Y^13=Z^17
不定方程各项系数都是1,指数是互素的三个素数。
假定不定方程解的结构是
X=a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u-b^u ) /2]^t1
Y=[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u-b^u ) /2]^t2
Z=[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u-b^u ) /2]^t3
其中,a、b、u为正整数,a>b,a、b同奇或同偶;。

仿例题,设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式:
11*s1=13*s2=17*s3-2
11*t1=13*t2-2=17*t3
s1,s2,s3;t1,t2,t3都是正整数.
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。

11*s1=13*s2=17*s3-2,给定s1,s2=11*s1/13,s3=(11*s1+2)/17
11*t1=13*t2-2=17*t3,给定t1,t3=11*t1/17,t2=(11*t1+2)/13
解得两不定方程组的最小解分别是:
s1=91, s2=77, s3=59
t1=170, t2=144, t3=110

验证
11*s1=11*91=1001,13*s2=13*77=1001,17*s3=17*59=1003
11*t1=11*170=1870, 13*t2=13*144=1872,  17*t3=17*110=1870
取u等于X的指数11,
X=a*b*[(a^11+b^11) /2]^91*[(a^11-b^11 ) /2]^170
Y=[(a^11+b^11) /2]^77*[(a^11-b^11 ) /2]^144
Z=[(a^11+b^11) /2]^59*[(a^11-b^11 ) /2]^110
X^11=a^11*b^11*[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11-b^11 ) /2]^1870
Y^13=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11-b^11 ) /2]^1872
Z^17=[(a^11+b^11) /2]^1003*[(a^11-b^11 ) /2]^1870
X^11+Y^13=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11-b^11 ) /2]^1870*{a^11*b^11+[(a^11-b^11 ) /2]^2}
=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11-b^11 ) /2]^1870*[(a^11+b^11 ) /2]^2=[(a^11+b^11) /2]^1003*[(a^11-b^11 ) /2]^1870=Z^17
不定方程的解正确!
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 楼主| 发表于 2021-11-26 06:53 | 显示全部楼层
yangchuanju 发表于 2021-11-26 06:40
改正声明:
本表凡是“t2+2”都错了,需改为“t2-2”,相应的以下得数全错!
一个符号搞错,以下的指数 ...

老师您好:
您是数圣剑客重量级人物,您的数学超希尔伯特费马等人!
一般规律,在解完方程之后一定要验根,杨老师在这方面做的很好!以后学生我好好向您学习,谢谢老师!
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