证明：存在矩阵 A,B 使 e^(A+B)=e^A e^B ，但 AB≠BA

elim

试证：存在矩阵\(A,B\)使\(e^{A+B}=e^Ae^B\)但\(AB\neq BA\).

elim

令\(\small A=\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix},\;B=\begin{pmatrix}0&1\\0&b\end{pmatrix},\quad(a,b\in\mathbb{C},\,a\ne b).\)
则\(\small\; A^n=\begin{bmatrix}a^n&0\\0&0\end{bmatrix},B^n=\begin{bmatrix}0&b^{n-1}\\0&b^n\end{bmatrix},(A+B)^n=\begin{bmatrix}a^n&\frac{a^n-b^n}{a-b}\\0&b^n\end{bmatrix}\)
故\(\small\;e^A=\begin{bmatrix}e^a&0\\0&1\end{bmatrix},e^B=\begin{bmatrix}1&b^{-1}(e^b-1)\\0&e^b\end{bmatrix}\)
\(\small\quad e^{A+B}=\begin{bmatrix}e^a&(a-b)^{-1}(e^a-e^b)\\0&e^b\end{bmatrix}\)
取\(\,a=2\pi i,\,b=4\pi i,\)则\(\;e^A=e^B=e^{A+B}=I\;\therefore\;e^{A+B}=e^Ae^B.\)
但\(\small\,AB=\begin{bmatrix}0&2\pi i\\0&0\end{bmatrix}\ne\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}=BA\)

elim

注记：
定义.\(\,\;\;\small\displaystyle e^M=I+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}M^n.\quad (M\,\)是方阵.)

luyuanhong

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