这个题可简单吧？

费尔马1

这个题简单啊！怎么就没有人解呢？

费尔马1

请老师们谈谈对这个题的看法，我们共同探讨。

yangchuanju

这个题可简单吧？
已知勾股数a、b、c两两互质，a、b为直角边，c为斜边。
求证:a、b其中一个是奇数，另一个是偶数(且为4的倍数)；c为奇数?

已经有人收集并整理了满足勾股定理的7个条件：
（1）、平方根
　　1.1、a = 2mn；b = m2— n2 ；c = m2 + n2 （m ＞n）
　　1.2、a∶b∶c = mn∶（m2 — n2 ）/2 ∶（m2 + n2 ）/2 （m、n为奇数）
　　1.3、a = 2m；b = m2 —1；c = m2 + 1（m为偶数）
　　1.4、a = m；b =（m2 — 1）/2；c =（m2+ 1）/2 （m为奇数）
（2）、多项式：
　　2.1、a=2m +1；b = 2m2 + 2m；c=2m2+ 2m + 1（m为正整数）
　　2.2、a=√2mn +n；b = √2mn + m；c = √2mn +m + n （2mn为完全平方数）
    2.3、a = 2mn + n2；b = 2mn + 2m2；c = 2mn + 2m2 + n2 （m、n为任意正整数）

条件1.3不必多说，a是4的倍数，b和c都是奇数。

条件1.1，a^2+b^2=4m^2*n^2=m^4-2m^2*n^2+n^4= m^4+2m^2*n^2+n^4=(m^2+n^2)^2=c^2
等式成立对m和n的奇偶没有任何限制。
令m、n双奇，a是2的倍数，b是偶数，不符合楼主a、b互素要求，舍弃；
令m、n双偶，a是8的倍数，b是偶数，也不符合楼主a、b互素要求，舍弃；
令m奇、n偶，a是4的倍数，b是奇数，c是奇数，此时若a、b、c两两互素才满足楼主要求，保留；
令m偶、n奇，a是4的倍数，b是奇数，c是奇数，此时若a、b、c两两互素才满足楼主要求，保留。
综上，m、n一奇一偶就可保证等式成立，且2mn是4的倍数，满足直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。
再加上a、b、c两两互素，好似多余；条件1.1中的m>n是必要的，不然的话，b=0，构不成直角三角形。

其余5种情况类似，不再一一推导。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-12-8 06:10
这个题可简单吧？
已知勾股数a、b、c两两互质，a、b为直角边，c为斜边。
求证:a、b其中一个是奇数，另一 ...

感谢杨老师关注并解答！
老师您辛苦了！您为此题付出心血，功不可没！
学生我的观点是，您的这种解法太繁琐了，建议采用勾股数通式中的具有代表性的一个公式就可以了。例如，采用　　1.2、a∶b∶c = mn∶（m2 — n2 ）/2 ∶（m2 + n2 ）/2 （m、n为互质的奇数）进行分析即可。
真正的解题过程需要先有这个勾股通式的推导过程，(因为这个公式是所有本原勾股数的总通解式)，然后再一一分析a、b、c与m、n的奇偶情况。