已知 A(0,1),B(3,2) 两点，P 为 x 轴上的一个动点，求 AP+2PB 的最小值

wintex · 发表于 2021-12-9 17:45

不等式問題

drc2000再来 · 发表于 2021-12-9 22:01

~~~~~~点图片看大图~~~~~~

luyuanhong · 发表于 2021-12-9 22:54

楼上 drc2000再来的解答很好！已收藏。

波斯猫猫 · 发表于 2021-12-10 12:43

本帖最后由波斯猫猫于 2021-12-10 12:46 编辑

题：已知 A(0,1),B(3,2) 两点，P 为 x 轴上的一个动点，求 AP+2PB 的最小值。

思路：显然三点 A(0,1)，B(3,2) ，C(3,-2)共圆（x-2）^2+y^2=5，其中半径r=√5，圆心Q（2，0）。

故AP+2PB =PA+PB +PC≥3(AP.PB.PC)^(1/3)，当且仅当AP=PB=PC=r=√5，即P在Q点时等号成立。

从而AP+2PB ≥3PA，或AP+2PB≥3√5。

鞋子睿 · 发表于 2021-12-11 20:55

如图配方与数形结合

FGNBGHJUOI · 发表于 2021-12-12 01:46

这是这道题的几何解法，我发一下吧

FGNBGHJUOI · 发表于 2021-12-12 02:14

类似的，还有A: (0,1),B: (4,3)和PA+3PB的最小值，数值是特殊的，也是有几何法

如果把B: (3,2)改成B: (3,1),答案就比较复杂了
是个一般的一元四次方程的最小值，目前还找不到一般的一元四次方程的几何解法

drc2000再来 · 发表于 2022-4-25 15:14

若PA+3PB,折射率改为3,光学原理不变,远算量变大.

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已知 A(0,1),B(3,2) 两点，P 为 x 轴上的一个动点，求 AP+2PB 的最小值

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