《数学分析》教材中存在的一个问题

lixy1217

在陈纪修版《数学分析》中，证明圆的周长等于2*pi*r时用到了三角函数或反三角函数的微积分。

证明正弦函数导数的时候用到了极限  lim(x->0) sin x / x =1。

证明上述极限时用到了圆的面积公式。

至于圆的面积公式如何证明，书上好像没有给出（椭圆面积的证明那个不算，事实上它的证明也用到了三角函数的微积分）。

这样一来这四个定论（圆的周长，圆的面积、三角函数的微积分，sinx/x的极限）就可能会形成一个循环论证的关系，如何在论证中跳出这个循环可能不是一件轻松的事情。

按照陈纪修版《数学分析》的意思，这四个定论的逻辑顺序应该是：圆的面积 -> sinx/x的极限 -> 三角函数的微积分 -> 圆的周长。然后把圆的面积作为一个没有提供证明的先验假设。事实上，不仅仅是陈纪修版的《数学分析》，我看过的《数学分析》教材，至少在证明sinx/x的极限时都是用到了圆的面积。

可从主观上来说，我们都会觉得圆的周长比圆的面积更基础一些。事实上，如果把圆的周长作为先验假设，然后四个定论的逻辑顺序调整为：圆的周长 -> sinx/x的极限 -> 三角函数的微积分 -> 圆的面积。这一套证明是完全推导出来的。

lixy1217

至于圆的周长是否可以通过极限理论推导出来，那还是可以琢磨琢磨的。