已知 by／z+cz／y=a ，cz／x+ax／z=b ，ax／y+by／x=c ，abc=1 ，求 a^3+b^3+c^3

luyuanhong

楼上的推理方法是有问题的，下面举一个反例：

设由下列两个方程组成一个方程组

    2m^2-3pm+a=0  (1)    3m^2-4pm+a=0  (2)

容易验证， m=p=√a  和  m=p=-√a  是这个方程组的两组解。

如果按照楼上的推理逻辑，说：

“ 因(1)(2)是关于 m 的一元二次方程，且常数项均是 a ，所以必有 2=3 ，-3p=-4p 。”

一看就知道，这样的推理，显然是不对的。

kanyikan

luyuanhong 发表于 2021-12-14 10:54
楼上的推理方法是有问题的，下面举一个反例：

设由下列两个方程组成一个方程组

陆教授说的是

渣k

欢迎大家给出更简便的方法

波斯猫猫

设y／z=k，z／x=m，x／y=r （kmr=1），则有

bk^2-ak+c=0 (1)，cm^2-bm+a=0 (2)，bk^2m^2-ckm+a=0（ar^2-cr+b=0,消去r不失一般性）(3)。

因(2和)(3)是关于m的一元二次方程，由韦达定理有

b/c=ck/bk^2，a/c=a/bk^2，解得k=1。

7楼和10楼错误的根源不是推理有误，而是既然设定了“y／z=k，z／x=m，x／y=r （kmr=1）。”那么k

或m或r就是一个确定的“值”，就不能再论关于k或m或r的一元二次方程（这是很容易被套路的，也不能视为

有等根的情形）。否则，将会失去一些情形。事实上，利用kmr=1，bk^2-ak+c=0 (1)，cm^2-bm+a=0 (2)，

bk^2m^2-ckm+a=0（ar^2-cr+b=0,消去r不失一般性）(3)”中的k^2或m^2或r^2项是能消去的。不过计

算量也较大。

波斯猫猫

网络一直有问题啊

luyuanhong

波斯猫猫

网络无法访问，网络无法访问，网络无法访问，断断续续，一直没有做个好样子。

波斯猫猫

已找到简洁解法，太晚了，明天见。

波斯猫猫

一个数学题的妙解 (2021-12-16 08:28:08)[编辑][删除]转载▼

题：已知 by／z+c z／y=a ，c z／x+ax／z=b ，ax／y+by／x=c ，abc=1 ，
     
      求yz/x^2+zx/y^2+xy/z^2 和a^3+b^3+c^3的值。

      思路：（1）把by／z+c z／y=a ，c z／x+ax／z=b ，ax／y+by／x=c 依次排成

Aa+Bb+Cc=0型的齐次线性方程组，因abc=1 ，故其系数行列式

D=1+yz/x^2+zx/y^2+xy/z^2=0，即yz/x^2+zx/y^2+xy/z^2=-1。

      （2）由by／z+c z／y=a 有，b^2y^2／z^2+2bc+c ^2z^2／y^2=a^2，

即ab^2y^2／z^2+ac ^2z^2／y^2=a^3-2。

同理，bc^2z^2／x^2+ba^2x^2／z^2=b^3-2，ca^2x^2／y^2+c b^2y^2／x^2=c^3-2。

       另一方面，上述三个方程又可化为：

by^2+c z^2=yza，ax^2+c z^2=zxb，by^2+ax^2=xyc，

故a^3+b^3+c^3-6=bc(by^2+c z^2)/x^2+ac(ax^2+c z^2)/y^2+ab(by^2+ax^2)/z^2

    =abc(y z)/x^2+abc(x z)/y^2+abc(yx)/z^2

    =yz/x^2+zx/y^2+xy/z^2=-1，即a^3+b^3+c^3=5。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。