在 ΔABC 中，∠ABC=30°，D 在 AC 边外，ΔDAC 是正三角形，求证：BA^2+BC^2=BD^2

王守恩

\(△ABC,∠ABC=30^\circ,D是AC外一点,满足DAC是正三角形,求证:BA^2+BC^2=BD^2\)

lihp2020

几何作图  如图  
先画一个 坐标轴 再 画单位圆  Δ0AC  的正三角形  ΔDAC 的正三角形 B为圆上的动点


假设B点坐标（sinB,cosB） 这样分别计算  BA^2 BC^2 BD^2 化简出来  是相等的   
但是不想计算了

kanyikan

luyuanhong

楼上 kanyikan 的证法思路很好！下面是根据这一思路的详细证明过程：

王守恩

luyuanhong 发表于 2021-12-13 21:23
楼上 kanyikan 的证法思路很好！下面是根据这一思路的详细证明过程：

\(记∠CAB=\theta,\ \ BC=\sin(\theta),\ \ BA=\sin(30^\circ+\theta),\ \ CA=AD=\sin(30^\circ)\)

\(BD^2=BA^2+AD^2-2*BA*AD\cos(60^\circ+\theta)\)\(=BA^2+\sin^2(30^\circ)-2\sin(30^\circ+\theta)\sin(30^\circ)\sin(30^\circ-\theta)=BA^2+\sin^2(\theta)=BA^2+BC^2\)

王守恩

还是简单的题。

\(等腰三角形ABC, A是顶角, 作底角B的角分线交AB于D, 满足AD+DB=BC, 求证:∠C=40^\circ\)

王守恩

找这样的三角形：面积是正整数，3条边是3个连续正整数，譬如3,4,5，还有吗？

王守恩

王守恩 发表于 2021-12-26 12:52
找这样的三角形：面积是正整数，3条边是3个连续正整数，譬如3,4,5，还有吗？

找这样的三角形：面积是正整数，3条边是3个连续正整数，譬如3,4,5，还有吗?

0003, 0004, 0005,
0013, 0014, 0015,
0051, 0052, 0053,
0195, 0196, 0197,
0723, 0724, 0725,
2701, 2702, 2703,
........

特别地，把中间列拉出来:
4, 14, 52, 196, 724, 2702, 10084, 37638, 140452, ......

每个数除以 2：
{2, 7, 26, 97, 362, 1351, 5042, 18817, 70226, 262087, 978122, 3650401, 13623482,
50843527, 189750626, 708158977, 2642885282, 9863382151, 36810643322, 137379191137,
512706121226, 1913445293767, 7141075053842, 26650854921601, 99462344632562, ......}

通项公式也可以由解方程得出：

Solve[{3 x^2 == k^2 + 3, 10^7 > x > 0, k > 0}, {x, k}, Integers]

{x -> 2, k -> 3}, {x -> 7, k -> 12}, {x -> 26, k -> 45}, {x -> 97,  k -> 168}, {x -> 362, k -> 627},
{x -> 1351, k -> 2340}, {x -> 5042,k -> 8733}, {x -> 18817, k -> 32592}, {x -> 70226,  k -> 121635},
{x -> 262087, k -> 453948}, {x -> 978122, k -> 1694157}, {x -> 3650401, k -> 6322680}}