任何无割边的3—正则平面图都是可3—边着色的 ——用泰特猜想证明四色猜测

雷明85639720

任何无割边的3—正则平面图都是可3—边着色的
——用泰特猜想证明四色猜测
雷  明
（二○二一年十二月十七日）
（图发不上来，请到《中国博士网》中去看）

1880年泰特提出了一个猜想：3—正则平面图的可3—边着色等价于3—正则平面图的可4—面着色。由于地图就是无割边的3—正则平面图，所以说如果泰特猜想是正确的，那么就可以用这个猜想去证明四色猜测了。也就是说只要证明了任何无割边的3—正则平面图都是可3—边着色的，那么就可以说，任何地图都一定是可4—面着色的。地图的四色猜测就得到证明是正确的。
1、泰特猜想的验证：
我们用一个比较简单一点的3—正则图进行验证。图1是一个有4个顶点的3—正则平面图，各顶点的度都是3。其对应的地图如图2。

对图1进行可3—边着色，如图3。其对偶图是一个极大平面图，每个面都是三边形面，各面也都是由三种颜色的边所围成的，如图4。图4中有三种颜色的“同一色线”，即一条道路上各边的颜色都相同，每种同一色线至少有两条以上，如图5、图6和图7。取一种同一色线的图（如图5），把一条同一色线上的顶点用A和B两种颜色相间的进行标注，把另一条同一色线上的顶点用C和D两种颜色进行标注。正好所有的顶点都标注完毕，图中共有四种颜色的顶点，且相邻的顶点都是不同的颜色，如图8。



按图8中的F1A、F2C、F3D和F4B的相应次序，相应的用红，黄，兰，绿对图2中的地图进行面上的染色，得图9，该地图的4—面着色完毕。泰特猜想是正确的。

2、无割边的3—正则平面图可3—边着色的证明：
可3—边着色的3—正则平面图中含有多个由两种颜色构成的边二色圈，该圈之外并与该圈相邻的边都是第三种颜色的边。交换该边二色圈上各边的颜色，不会影响到与该圈相邻的第三种颜色的边及其以外的任何边，如图10。这就为证明创造了条件。


在可3—边着色的无割边的3—正则平面图中的每一个边二色圈中可能都包括着若干个面；而一个面的各边也不一定都在一条边二色圈上。在一个面的任何两条边中各增加一个顶点a和b并用边连接之，就可给该3—正则平面图中增加了一个面，图仍是一个3—正则的平面图，如图11。
设原图中的面数是n，现在的面数是n＋1，用数学归纳法只要证明了增加了一个面的这个有n＋1个面的3—正则平面图仍是可3—边着色的，就可以证明任何无割边的3—正则平面图都一定是可3—边着色的。
2、1 当a和b在同一个边二色圈上时，又分为a和b在同色边上和不同色边上两种情况，增加一个面后的边着色情况如图12。可见增加了一个面后的图仍是一个可3—边着色的3—正则平面图。


2、2 当a和b不在同一个边二色圈上时，则必须通过对某种边二色圈的颜色交换，把a和b转化成处在同一个边二色圈上，如图13。然后再看a和b是否是在同色边上，分别再按2、1中的办法进行处理。处理后仍然是可3—边着色的3—正则平面图。
到此，就证明了任何3—正则的平面图都一定是可3—边着色的。按照泰特猜想，任何3—正则平面图也一定都是可4—面着色的。四色猜测是正确的。证毕。


雷  明
二○二一年十二月十六日于长安

注：此文已于二○二一年十二月十八日在《中国博士网》上发表过，网址是：
http://www.chinaphd.com/cgi-bin/ ... pic=5031&show=0

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