在凸四边形 ABCD 中，已知 ∠ABC+∠ADC=300°，AB×CD=BC×AD ，求证：AB×CD=BD×CA

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求教一道几何竞赛题，凸四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=300°，AB·CD=BC·AD，求证：AB·CD=BD·CA。题目简洁，做不出。

denglongshan

结论似乎有问题，只有∠ABC=∠ADC=150°正确

luyuanhong

luyuanhong

王守恩

luyuanhong 发表于 2021-12-20 22:43

\(已知∠BCA=u\ ∠BAC=v\ \ 记∠CAD=w(未知数)\)
\(则AB=\sin u\ \ BC=\sin v\ \ CD=p\sin v\ \ DA=p\sin u\)

\((BD)^2=(\sin u)^2+(p\sin u)^2-2(\sin u)(p\sin u)\cos(v+w)\)
           \(=(\sin v)^2+(p\sin v)^2-2(\sin v)(p\sin v)\cos(\pi/3-v-w)\)

\((CA)^2=(\sin u)^2+(\sin v)^2+2(\sin u)(\sin v)\cos(u+v)\)
           \(=(p\sin u)^2+(p\sin v)^2+2(p\sin u)(p\sin v)\cos(\pi/3-u-v)\)

  \(k=\frac{AB*CD}{BD*CA}\ \ 不管已知数\ u,v\ 是什么数，电脑出来都是\ k=1\)

790002137

luyuanhong 发表于 2021-12-20 23:35

谢谢你

790002137

王守恩 发表于 2021-12-21 10:44
\(已知∠BCA=u\ ∠BAC=v\ \ 记∠CAD=w(未知数)\)
\(则AB=\sin u\ \ BC=\sin v\ \ CD=p\sin v\ \ DA=p\si ...

谢谢啦

denglongshan

谢谢楼主、陆老师和王老师，是我把结论看错了，看成AB×CB=BD×CA，本题是向量商绝佳案例。
证明：由AB×CD=BC×AD， ∠ABC+∠ADC=300°得 ，\(\frac{BA}{BC}=\frac{AD}{CD}\)，记e^(i∠ABC)=v，\(\frac{BA}{BC}=\frac{AD}{CD}=λ\)得,e^(i∠ADC)=（1+ω)v，其中ω是三次单位根，所以\(\frac{\overrightarrow{BA}}{\overrightarrow{BC}}=\lambda v{,}\frac{\overrightarrow{DA}}{\overrightarrow{DC}}=\lambda v\left( 1+\omega\right)\)，假设B在原点，BC=1，根据向量定比分点公式得：
\(d=\frac{v\lambda\omega}{-1+v\lambda\left( 1+\omega\right)}\),所以
\[a-d=\frac{v\lambda\left( -1+v\lambda\right)\left( 1+\omega\right)}{-1+v\lambda\left( 1+\omega\right)}{,}a-c=-1+v\lambda;\frac{a-d}{a-c}\frac{c}{d}=\frac{\omega}{1+\omega}\]
以上证明适用凹四边形，如何先作出三角形ABC后，再确定D点？

luyuanhong

denglongshan

假设\(\frac{\overrightarrow{BA}}{\overrightarrow{BC}}=t\)，得：
\(\overrightarrow{DC}=\frac{\overrightarrow{CA}}{\left( 1+\omega\right)t-1};\overrightarrow{BC}=\frac{\overrightarrow{CA}}{t-1};\overrightarrow{BD}=\frac{\overrightarrow{CA}\omega t}{\left[ \left( 1+\omega\right)t-1\right]\left( t-1\right)}\)
\(\overrightarrow{BD}=\frac{\omega tCA}{\left( t-1\right)\left[ \left( 1+\omega\right)t-1\right]}\)
\(\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{DC}}\frac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{BA}}=-\omega\)
如图，几何意义表示得角度关系用红色标记，绿色圆是阿波尼斯圆，蓝色圆满足角度和等于300°关系，D是两圆交点

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