虽然很陌生，但它可能是你最好的朋友｜数学之美

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虽然很陌生，但它可能是你最好的朋友｜数学之美

原创 黄逸文 科学大院 2021-12-22 07:00

编者按：

高斯说：数学，科学的皇后。

老师说：奇变偶不变，符号看象限。

学生说：数学是火，点亮物理的灯；物理是灯，照亮化学的路；化学是路，通向生物的坑……

对于大部分人来说，数学让人“又爱又恨”，那么，数学家眼中的数学世界又是怎样的？

在“数学之美”系列的 4 篇文章中，让我们跟随一位数学工作者的目光，回望两千年的数学史，追忆时间长河里的数学家，一起感受数学的魅力，体验数字时代城市居民的生活，了解数学家辽阔深邃的思想，欣赏数学世界的美与艺术，感怀数学优雅动人的传承。

数学是什么？数学有什么用？


图片来源：veer 图库

相信每个人心目中都有自己模糊的答案。数学，可能是人们在现实生活中最陌生的朋友。在公众眼中，数学也许仅仅意味着数字的加减乘除，天气的冷暖变迁，乃至股市的跌宕起伏。而且我们不得不承认，生活中大多数场景用到的数学知识仅仅只需要小学的教育水平。延绵两千多年的数学文明，尽管已经深邃得令人敬畏，却依然没有在现实世界中找准它的生态位，难以展示它数千年来的精彩，也就很难让世人感知它独有的魅力。

虽然和两千多年以前相比，数学正在发挥着越来越重要的作用，但它似乎仍然隐藏在世界的角落里，让人们无从知晓，更无法理解。科技盛宴上的主角，常常是诞生于物理、化学、生物、信息等等学科的突破性成果。这背后的推崇与荣誉，似乎总和数学无缘。

那么，是什么，让数学源远流长的美被忽略；又是什么，让数学广博深邃的魂被深藏？

数学，是怎么变成今天这样的？

如果我们回顾数学漫长的发展史，会发现对数学的热忱和研究，大多时候代表了部分贵族的精神追求，数学的蓬勃发展则依赖于贵族之间的志趣交流。对发现者而言，发明新的数学成果，更多的乐趣是享受到某种精神层面的喜悦。在物质条件极其匮乏的年代，人们更关心的是生存条件和精神信仰。数学的特立独行天然地在普罗大众与精英之间形成了一道鸿沟。

自古希腊始，在两千多年的时光岁月里，数学的长河逐渐流淌出逾百条支流。尤其是进入 20 世纪以来，数学的理论和应用真正有了广袤的空间。建立在计算机和信息科技阵地上的数学分支，终于融入现代文明的基因。时至今日，数学内部的分工越发精细。但大体而言，现代数学体系分化出四个演进的主题，分别在理论、应用、审美和传承上演绎着自己的传奇。

以理论研究为职业的基础数学家指引了数学的前进之光，以服务现实为目标的应用数学家预示着数学的实在方向，以创造精神美感为追求的艺术家融入了数学的审美立场，以教书育人为己任的老师则代表了数学的传承发扬。然而，无论数学的前景指向哪里，它底层的逻辑体系一直坚如磐石，它群星璀璨的成果不断为现代物质文明的大厦添砖加瓦。数学思想的涌现和创造日益成为一口取之不尽的甘泉，源源不断地滋养着人类文明。


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你的生活里有多少“数学”？

现代人的世界，其实早已经浸润在数学的海洋里。如同空气一样，虽视而不见，却无处不在。

数学起始于人类活动的需求，好奇心与求知欲则驱使着人类不断探索抽象的数学世界。某种程度上来说，数学，正是人类最富智慧想象力的结晶。它不同于孩童时天马行空的想象，后者的想象无需受制于逻辑的约束，而数学的想象却建立在逻辑的正确推衍上。在数学的世界里，每前进一步都在拓展人类想象力的极限。经过几千年前赴后继的接力赛，这个由人类想象力构筑的殿堂，与大众的生活渐行渐远，犹如空中楼阁一样遥不可及。唯有偶尔的一展身手，还在提醒着世人这一古老学科与真实世界的关联。

著名的法国布尔巴基学派曾经将数学比作一个城市，城市的规模就是数学的知识体系，并且这个体系在不断扩张。而在城市内部，建筑物和街道也在被不断修缮或重建。这个城市的居民既是间接使用数学的诸多百姓，也是那些直接运用数学的普通人。


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一天有 24 小时，一年有 365 天。时间在精密地自我运转，我们也在时间的约束下规划人生。然而时间观念的诞生与计量，却源于古文明时期天文和历法的进步。正是数学帮助人类在其早期文明史上，第一次科学地认识到世界的规律。

信息时代的生活离不开手机。手机里琳琅满目的程序正支配着大众的决策。其中和生活息息相关的天气预报已经成为人们出行的必备指南。曾几何时，天象是神秘和神圣的象征，只有极少数人才有权知道来自上天晦暗不明的指示。如今，人们就能在指尖轻易获取天气的信息。无论刮风、下雨、阳光普照还是大雪纷飞，气象局的预报总能为我们提供来自未来的秘密。天气预报，已经和人们的生活融为一体。这背后的原理，正是以流体动力学和混沌学为代表的数学应用。

当我们出门在外，无论是工作还是旅行，地图和导航成了我们的左膀右臂。正是基于数学家发明的保角变换而制作的地图，才让建筑物在平面地图上的相对位置与真实世界一一对应。当我们穿梭于繁忙的地铁时，正是基于拓扑学而简化绘制的地铁图为人们提供了直接明了的视角。


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出租车的大量运营为城市居民提供了出行的便利，外卖行业的兴起更是让忙碌的人群足不出户享受到全城的美食。正是基于 GPS、中国北斗等卫星快捷、准确的实时定位，让千千万万的人们享受到了这些城市规模化、生活舒适化的便捷性。而这背后的功臣恰好是以洛伦兹变换为起点的狭义相对论和以黎曼几何、张量代数为基础的广义相对论结出的丰硕果实。在医疗健康领域，CT 的断层扫描、冷冻电镜下 DNA 分子与细胞的立体图像、人类器官、组织与血管的再造技术，甚至基于靶向肿瘤抗癌药物的研发，都不难看到拓扑学、分析与几何学的精准应用。

工作之余，准备享受美食时，人们却不曾看到食物背后的后厨优化、蔬菜配送、种植育种等等配套的工程。现代化食物产量和质量的提升，从播种到收获，都和现代数学的图论、统筹、粮食统计学息息相关。

结束了一整天的忙碌后，现代人主要的休闲方式是使用手机、电脑、平板等等娱乐设备。毫无疑问，这些来自信息时代的科技馈赠，正是源自康托的集合论、罗素悖论、哥德尔不完备定理、图灵机、冯诺依曼结构的传承。同时，互联网背后默默运行的算法，诸如大数据、拓扑结构等等更是保证了我们能够及时、高速地与世界各地互通相连。


由 Ada Lovelace 编写的世界上第一个计算机算法程序（图片来源：Wikipedia）

数学有什么用？你明白了么？

事实上，数学的应用已经无处不在。除了日常生活，生物、通信、高铁、航空航天、军工、股市、考古、电影等领域都在现代数学的分支里汲取养分。如果说现代公民生活的每一个场景都是一个应用程序，数学，就是那底层的操作系统。我们看不见它，甚至无法感知，但却明白它无与伦比的重要性。当系统崩溃的时候，一切程序都将烟消云散、无法运行。

不仅如此，在漫长的时间长河里，数学也曾发挥过中流砥柱的作用。人类历史上的三次工业革命都有数学的积极参与。第一次工业革命开启了机械化时代，这其中，是牛顿与莱布尼茨发明的微积分引领了时代的步伐；第二次工业革命拉开了电气化时代的序幕，其中居功至伟的当属麦克斯韦方程，正是电磁现象的数学解释，让人类大跨步迈入了现代文明；而第三次的工业革命则是以自动化为标志，以相对论与黎曼几何、布尔数学等等为标杆，开辟出一条无比璀璨光明的道路。我们今天所享受的现代文明，都是前三次工业革命的福利。

如今，世界已经来到第四次工业革命的前夕。这一次，人工智能、大数据、通讯技术、超算等等信息科技更是以数学为先锋，披荆斩棘，引领人类驰向无比广阔和光明的信息化时代。其中基于数论椭圆曲线而设计的区块链技术、基于概率论贝叶斯估计的深度学习技术、融合傅里叶分析、小波分析、群论、图论的 Wi-Fi、5G，乃至 6G 通讯信息等等，不断开拓国家的科技疆土，亦为人类文明的发展壮大贡献智慧。


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不过，数学虽然这么“有用”，数学家还是会经常遇到这个问题：“你们为什么总在研究没用的事？”

下一期，我们告诉你“为什么”。