概率趣题：一根 1m 长的玻璃棒，摔倒地上断成 3 段，最短一段的平均值是多少？

cgl_74

我只会最基本的解法，即暴力解法。思路清晰，计算有些复杂。但做起来有种畅快淋漓的感觉。
看看网友们是否有巧妙但严谨的做法呢？

cgl_74

我自己想的一个不严谨的解法：
1、最短的长度，显然是在0到1/3米之间变化。把这个范围当作目标事件的全空间。
2、又因为分为3段，有2个断点。这2个断点是均匀分布的，平均每段是1/3。
3、综上，最短长度的平均值就是1/3*1/3=1/9米。
4、推广：如果是分成n段，那么最短的平均长度为1/n * 1/n =1/n^2

上面的解法其实是说服不了我的。我实际做法，是用平面表示概率分布，划分区域，用积分来计算数学期望。答案是1/9。

luyuanhong

Nicolas2050

:lol最长距离没算。

Nicolas2050

一根 1m 长的玻璃棒，摔倒地上断成 3 段，最长一段的平均值是多少？

cgl_74

多谢陆老师答复。
我附上我的解答：

luyuanhong

Nicolas2050 发表于 2021-12-27 17:39
一根 1m 长的玻璃棒，摔倒地上断成 3 段，最长一段的平均值是多少？

cgl_74

学习了一下陆老师的解法。发现陆老师的解法虽然字少，却并不见得简单啊，需要更多的知识储备。我要仔细求证后后才理解。
1、3个长度变量直接映射到3维空间，也是常见思路。但是能看出x值最小的区域是哪一部分，这就没那么容易了吧。我是把3维的那个平面映射到X-Y的2维平面之后，才确认这个结论是成立的。
2、在做最大长度的数学期望时，x取最大值的区间也直出的，没有推导。对于3维空间的平面，如何求通用的不等式区域，是有通用方法的吧？
3、计算数学期望部分，那个直出的表达式，也是要绕几步，才有那个表达式结论的。

至于我的解法，思路中规中矩，计算复杂一些。需要改进的地方是，可以进一步利用概率的对称性，不用计算3块区域的数学期望，只计算一块区域的数学期望即可，再乘以6就可以得出整个的数学期望。这样计算过程减少一大半，计算复杂度和陆老师的解法相当了。