求极限 lim(x→∞)[e^(1／x)√(x^2-x+2)-√(x^4+x^2+1)]

elim

题：计算 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty } \left( \sqrt[\Large x]{e}( x^2-x+2 )-\sqrt{x^4+x^2+1} \right)\)

cgl_74

这道题没人做吗？
我尝试做了下，结果是1. 解答繁琐一点，晚点我整理后放上，供讨论交流。

cgl_74

一个方法，可能存在疏漏之处，供交流讨论。

elim

一个外国人alexheinis的做法：取 \(t=1/x\) 得 \(\small\exp(1/x)=e^t=1+t+t^2/2+O(t^3)=1+1/x+1/(2x^2)+O(1/x^3)\)
\(={{2x^2+2x+1}\over {2x^2}}+O(1/x^3)\) 于是 \((x^2-x+2)\exp(1/x)\)
\(=(x^2-x+2)({{2x^2+2x+1}\over {2x^2}}+O(1/x^3))={{2x^4+3x^2}\over {2x^2}}+o(1)=x^2+3/2+o(1)\).
再令 \(a=\sqrt{x^4+x^2+1}\) 则 \(a-x^2={{x^2+1}\over {a+x^2}}\sim {{x^2}\over {2x^2}}=1/2\).
可见 1 为所求极限.

cgl_74

elim 发表于 2021-12-30 11:47
一个外国人alexheinis的做法：取 \(t=1/x\) 得 \(\small\exp(1/x)=e^t=1+t+t^2/2+O(t^3)=1+1/x+1/(2x^2)+O( ...

这个方法好！学习了。
幂级数展开，是一个天然的各级无穷大阶数的表示方法。看上去这也是一个通用方法。

elim

cgl_74 发表于 2021-12-29 22:23
这个方法好！学习了。
幂级数展开，是一个天然的各级无穷大阶数的表示方法。看上去这也是一个通用方法。

罗必达法则，幂级数方法，中值定理是相通的．后两种方法说理更清楚．

luyuanhong

楼上 elim 的帖子很好！已收藏。