设 n≥100，将 n,n+1,…,2n 分成两堆，证明：至少有一堆中有两数之和是一个完全平方数

lihp2020

设整数n≥100，小明把n,n+1,…,2n的每个数写在不同的卡片上.然后他将这n+1张卡片打乱顺序并分成两堆.证明：至少有一堆中包含两张卡片，使得这两张卡片上的数之和是一个完全平方数.

百度看见的  就至少转载  我自己好像知道如何证明 但是 有点表达问题

lihp2020

n>=100

那么 是否有3个数
a +b =m^2
b +c =(m-1)^2
a +c =(m-2)^2

求解得 abc 为整数 且都在【n，2n】 区间中

abc 为整数  那么 由奇偶性的 m 必须是奇数
--strart
计m=2k+1   可以得到 存在 k取最大    k在【sqrt(n)-2 sqrt(n)-1）区间
a +b =(2k+1)^2
b +c = (2k)^2
a +c = (2k-1)^2

a =((2k+1)^2+(2k)^2 -(2k)^2 )/2   =  2*k^2+4*k

b =((2k+1)^2+(2k-1)^2 -(2k)^2 )/2 =  2*k^2+1

c =((2k)^2+(2k-1)^2 -(2k+1)^2 )/2 =  2*k^2-4*k

明显发现由于k是整数 abc 一定是整数

k =【sqrt(n)-2,sqrt(n)-1)
带入 应该可以判断出 abc  都在【n，2n】 区间中  这里可能需要用到n>=100
证明就略了
--end
ps： strart  end之间很难理解 不好表述  始终有点 表达问题
其实 对 任意n >=100的确定数 都能找到 对应的k a b c
lg:n=999  k=30 a=1920 b=1801 c=1680 都在【999，999*】区间内



上面证明了 在【n，2n】 区间中一定存在3个数 abc  满足 a+b b+c c+a 都是完全平方数   所以 这三个数 都必须独立放在一堆  又只有两堆
那么必然有一堆 放了abc 其中两个 就必然他们的和是平方数