ABCD 为圆内接四边形，AB 为直径，AD=DC=x ，CB=y ，求圆面积 S=f(x,y) 的解析表达式

中国上海市

A、B、C、D四点共圆，AB为直径，且A、D、C、B四点依次按顺时针排列，AD=DC=x，CB=y，设圆面积S=f(x,y)，求函数f(x,y)的解析表达式

luyuanhong

中国上海市

谢谢陆教授的解答

波斯猫猫

x=dsinθ ，y=dcos2θ=d[1-2(sinθ)^2]=d[1-2(x/d)^2] ，

即 d^2-yd-2x^2=0 ，或 2d=y+√(8x^2+y^2) ，

故圆面积 S=f(x,y)=π(d/2)^2=π[y+√(8x^2+y^2)]^2／16 。

fogking

例如，如果一个四边形的周长固定为1，那么圆的最小面积就是π/25。 有没有可能不使用微分就能找到？（例如，通过使用几何方法）

王守恩

解个方程不就有了？！
\(\frac{x}{\sin(\theta)}=\frac{d}{\sin(\pi/2)}=\frac{y}{\cos(2\theta)}\)
非得往前走的话
\(左半部分(\frac{x}{\sin(\theta)}=\frac{d}{\sin(\pi/2)})得:\sin(\theta)=\frac{x}{d}\)
\(右半部分(\frac{d}{\sin(\pi/2)}=\frac{y}{\cos(2\theta)}=\frac{y}{1-2\sin^2(\theta)}=\frac{y}{1-2(\frac{x}{d})^2})得：d=\frac{y+\sqrt{8x^2+y^2}}{2}\)

天山草

用 MMA 软件求直径的方法

luyuanhong

楼上 各位 的解答很好！已收藏。