P 是正方形 ABCD 中一点，已知 PA=1 ，PB=2 ，PC=3 ，求正方形 ABCD 的面积

王守恩

kanyikan 发表于 2022-1-23 22:18

谢谢 kanyikan ！总算看懂了，做一道类似的题目。

P 是正三角形 ABC 中一点，已知 PA=a ，PB=b ，PC=c ，求正三角形边长 x。

\(记∠P'PC=\theta,\cos\theta=\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}\)

\(\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\frac{\sqrt{(2bc)^2-(c^2+b^2-a^2)^2}}{2bc}=\frac{\sqrt{(a^2-(b+c)^2)((c-b)^2-a^2)}}{2bc}\)

\(x^2=b^2+c^2-2bc\cos(60^\circ+\theta)\)

\(=b^2+c^2-2bc\big(\cos60^\circ\cos\theta-\sin60^\circ\sin\theta\big)\)

\(=\frac{a^2+b^2+c^2+\sqrt{3(a^2-(b+c)^2)((c-b)^2-a^2)}}{2}\)

王守恩

kanyikan 发表于 2022-1-23 22:18

谢谢 kanyikan ！总算看懂了，类似的可用于三角形面积公式。

\(三角形面积=\frac{ab}{2}*\sin C=\frac{ab}{2}*\frac{\sqrt{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{2ab}=\frac{\sqrt{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{4}\)