ABCD 是正方形，E 在 CD 上，直线 AE,BC 交于 F，直线 BE,DF 交于 P，求证：CP⊥AF

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题：ABCD 是正方形，E 在 CD 上，直线 AE,BC 交于 F，直线 BE,DF 交于 P，求证CP⊥AF。

思路：设正方形的边长为1，CE=a，CF=b，易得a=b/(b+1),即ab+a=b。

设B（-1，1），C（0，0），D（0，1），则E（0，a），F（b，0）。

由截距式易得直线AP和DF的方程分别为：-x+y/a=1，x/b+y=1。

解得其交点P（b(1-a)/(ab+1)，a(b+1)/(ab+1)）。

所以向量CP与向量EF的点积CP.EF=（b(1-a)/(ab+1)，a(b+1)/(ab+1)）.（b，-a）

=（a+b）(b-a-ab)/(ab+1)=0。即CP⊥AF。

王守恩

\(记AB=1,CF=x,∠DAF=a,∠PBF=b,∠PCF=c,∠DFA=d\)

\(\tan(a)=\frac{1}{1+x},\tan(b)=\frac{x}{1+x},\tan(a+d)=\frac{1}{x},\frac{\tan(a)}{\tan(b)}=\frac{\cos(c)\sin(a+b+d)}{\cos(a+d)\sin(c-b)}\)

\(化简:\tan(a)=\frac{1}{1+x},\tan(c)=1+x, \ \ 解得a+c=90\)

王守恩

王守恩 发表于 2022-1-5 12:10
\(记AB=1,CF=x,∠DAF=a,∠PBF=b,∠PCF=c,∠DFA=d\)

\(\tan(a)=\frac{1}{1+x},\tan(b)=\frac{x}{1+x},\ta ...

x 可以是任意正数

\(记AB=1,CF=x,∠DAF=a,∠PBF=b,∠PCF=c,∠DFA=d\)

\(\tan(a)=\frac{1}{1+x},\tan(b)=\frac{x}{1+x},\tan(a+d)=\frac{1}{x},\frac{PD}{PF}=\frac{1}{(1+x)x}\)

\(角分线定理:1=\frac{PD*CF*\sin(c)}{PF*CD*\cos(c)},\tan(c)=1+x, \ \ 即\ a+c=90\)

\(也就是说：ACHD\ 4点共圆，H为AF,PC的交点。\)