ABCD 是正方形，E 在 CD 上，直线 AE,BC 交于 F，直线 BE,AD 交于 G，求证：CG⊥DF

kanyikan

luyuanhong

楼上帖子中有笔误：“求证：CG⊥AF”，应改为“求证：CG⊥DF”。

luyuanhong

王守恩

luyuanhong 发表于 2022-1-8 11:37
楼上帖子中有笔误：“求证：CG⊥AF”，应改为“求证：CG⊥DF”。

\(记AB=1,CF=x(任意正数),∠GAF=a,∠GBF=b,∠GCF=c,∠DFA=d\)

\(\tan(a)=\frac{1}{1+x},\tan(b)=\frac{x}{1+x},\tan(a+d)=\frac{1}{x},\tan(c)=\frac{x}{1},\ \ 即\ a+d+c=90\)

又:\(记AB=1,CF=x\)

\(\tan∠AFB=\frac{1(BA)}{1+x(BF)}=\frac{\frac{x}{1+x}(CE)}{x(CF)}\)

\(\tan∠GBF=\frac{\frac{x}{1+x}(CE)}{1(CB)}=\frac{\frac{1}{1+x}(DE)}{\frac{1}{x}(DG)}\)

\(\tan∠CGD=\frac{1(DC)}{\frac{1}{x}(DG)}=x\)

\(\tan∠CFD=\frac{1(CD)}{x(CF)}=\frac{1}{x}\)

\( 即\ ∠CGD+∠CFD=90\)

kanyikan

纯几何的证明：
由于AG//BF，
所以DG/BC=DE/EC=AD/CF，
即DG/DC=DC/CF，
所以Rt△GCD∽Rt△DFC
所以∠GCD=∠DFC
而∠DFC+∠CDF=90°
于是∠GCD+∠CDF=90°
所以CG⊥DF。

luyuanhong

楼上 kanyikan 的解答很好！已收藏。