欧拉公式与类欧拉公式的区别和联系

刘付来

1：欧拉公式\(2^{n-1}\left( 2^n-1\right)\)的推导

设：\(p=p_1^{n-1}p_0\)，\(p_1，p_0\)为互不相等的素数，\(n=2{,}3，......\)
若\(p\)为完全数，根据其定义，
则：\(2p=\left( 1+p_1^1+p_1^2+...+p_1^{n-1}\right)\left( 1+p_0\right)=\frac{p_1^n-1}{p_1-1}\left( 1+p_0\right)=\frac{p_{1-1}^n}{p_1-1}+\frac{p_{1-1}^n}{p_1-1}p_0\)
\(2p_1^{n-1}p_0=\frac{p_{1-1}^n}{p_1-1}+\frac{p_1^n-1}{p_1-1}p_0\)
\(2p_1^{n-1}p_0-\frac{p_1^n-1}{p_1-1}p_0=\frac{p_{1-1}^n}{p_1-1}\)
\(p_0\left( 2p_1^{n-1}-\frac{p_{1-1}^n}{p_1-1}\right)=\frac{p_1^n-1}{p_1-1}\)
\(p_0=\frac{p_1^n-1}{2\left( p_1^n-p_1^{n-1}\right)-\left( p_1^n-1\right)}\)
当，\(p_1=2\)时，代入上式得：
\(P_0=\)\(2^n-1\)，这时；
\(p=2^{n-1}\left( 2^n-1\right)，\left( 2^n-1\right)\)为素数时，\(p\)是完全数.

2；\(2^n\left( 2^{n+1}-1\right)\)的推导
设；\(p=p_1^np_0，p_1，p_0\)为互不相等的素数，\(n\in N\)
用同样的方法，可以证明:\(p\)为完全数时
\(p_0=\frac{p_1^{n+1}-1}{2\left( p_1^{n+1}-p_1^n\right)-\left( p_1^{n+1}-1\right)}，p_1=2\)
\(p_0=2^{n+1}-1\).这时：
\(p=2^n\left( 2^{n+1}-1\right)，\left( 2^{n+1}-1\right)\)为素数时，\(p\)是完全数.

当然，也可以推导出\(p=2^{n+1}\left( 2^{n+2}-1\right)，\left( 2^{n+2}-1\right)\)为素数时\(p\)是完全数

3：结论
这类公式，其本质是相同的，不同之处是其指数\(n\)的取值范围有所不同.它们之中，\(2^n\left( 2^{n+1}-1\right)\)更符合惯例，其指数
\(n\)的取值范围也恰好是自然数，即\(n\in N\).
2022.1.12.10:05.