数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 2861|回复: 1

完全数的初等证明

[复制链接]
发表于 2022-1-23 15:06 | 显示全部楼层 |阅读模式
完全数的初等证明
                               福建省莆田市荔城区桥兜村林墩     洪培荣
定义:在自然数中,等于各自除本身外的所有因子的和的数,称为完全数。
证:(一)由已知6,28,496,8128,……,都是完全数;可猜想当2n-1为质数时,2n-1(2n-1)为完全数(n∈N)。
显然当2n-1为质数时,2n-1(2n-1)除本身外的因子是2n-2(2n-1),2n-3(2n-1),…21(2n-1),20(2n-1)和2n-1,2n-2,…21,20.
(1)由21(2n-1)=20(2n-1)+20(2n-1);22(2n-1)=21(2n-1)+21(2n-1)=21(2n-1)+20(2n-1)+20(2n-1);     可得
2n-1(2n-1)=2n-2(2n-1)+2n-3(2n-1)+…+21(2n-1)+20(2n-1)+20(2n-1)。
(2)由21=20+20,22=21+21=21+20+20;    可得
2n=2n-1+2n-2+…+21+20+20。     那么
2n-1即20(2n-1)=2n-1+2n-2+…+21+20+20-1=2n-1+2n-2+…+21+20。
(3)由(1)和(2)立得2n-1(2n-1)=2n-2(2n-1)+2n-3(2n-1)+…+21(2n-1)+20(2n-1)+2n-1+2n-2+…+21+20。
故猜想成立,且所求为偶完全数。
(二)至于是否存在奇完全数,仍仿照上述证法:设当(2n+1)m-2为质数时,
(2n+1)m-1[(2n+1)m-2]为完全数(m,n∈N)。
那么(2n+1)m-1[(2n+1)m-2]除本身外的因子是(2n+1)m-2[(2n+1)m-2],
(2n+1)m-3[(2n+1)m-2],…,(2n+1)1[(2n+1)m-2],(2n+1)0[(2n+1)m-2]和(2n+1)m-1,(2n+1)m-2,…,(2n+1)1,(2n+1)0。
由(2n+1)0+(2n+1)0=1+1=2;
得    当n=0时,(2n+1)1<(2n+1)0+(2n+1)0;
      当n≥1时,(2n+1)1>(2n+1)0+(2n+1)0;
故(2n+1)m-1[(2n+1)m-2]≠(2n+1)m-2[(2n+1)m-2]+(2n+1)m-3[(2n+1)m-2]+…+(2n+1)1[(2n+1)m-2]+(2n+1)0[(2n+1)m-2]+
(2n+1)m-1+(2n+1)m-2+…+(2n+1)1+(2n+1)0。
即   奇完全数必不存在。                  证完
2020年夏
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-7-7 23:20 , Processed in 0.080140 second(s), 15 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表