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完全数的初等证明
福建省莆田市荔城区桥兜村林墩 洪培荣
定义:在自然数中,等于各自除本身外的所有因子的和的数,称为完全数。
证:(一)由已知6,28,496,8128,……,都是完全数;可猜想当2n-1为质数时,2n-1(2n-1)为完全数(n∈N)。
显然当2n-1为质数时,2n-1(2n-1)除本身外的因子是2n-2(2n-1),2n-3(2n-1),…21(2n-1),20(2n-1)和2n-1,2n-2,…21,20.
(1)由21(2n-1)=20(2n-1)+20(2n-1);22(2n-1)=21(2n-1)+21(2n-1)=21(2n-1)+20(2n-1)+20(2n-1); 可得
2n-1(2n-1)=2n-2(2n-1)+2n-3(2n-1)+…+21(2n-1)+20(2n-1)+20(2n-1)。
(2)由21=20+20,22=21+21=21+20+20; 可得
2n=2n-1+2n-2+…+21+20+20。 那么
2n-1即20(2n-1)=2n-1+2n-2+…+21+20+20-1=2n-1+2n-2+…+21+20。
(3)由(1)和(2)立得2n-1(2n-1)=2n-2(2n-1)+2n-3(2n-1)+…+21(2n-1)+20(2n-1)+2n-1+2n-2+…+21+20。
故猜想成立,且所求为偶完全数。
(二)至于是否存在奇完全数,仍仿照上述证法:设当(2n+1)m-2为质数时,
(2n+1)m-1[(2n+1)m-2]为完全数(m,n∈N)。
那么(2n+1)m-1[(2n+1)m-2]除本身外的因子是(2n+1)m-2[(2n+1)m-2],
(2n+1)m-3[(2n+1)m-2],…,(2n+1)1[(2n+1)m-2],(2n+1)0[(2n+1)m-2]和(2n+1)m-1,(2n+1)m-2,…,(2n+1)1,(2n+1)0。
由(2n+1)0+(2n+1)0=1+1=2;
得 当n=0时,(2n+1)1<(2n+1)0+(2n+1)0;
当n≥1时,(2n+1)1>(2n+1)0+(2n+1)0;
故(2n+1)m-1[(2n+1)m-2]≠(2n+1)m-2[(2n+1)m-2]+(2n+1)m-3[(2n+1)m-2]+…+(2n+1)1[(2n+1)m-2]+(2n+1)0[(2n+1)m-2]+
(2n+1)m-1+(2n+1)m-2+…+(2n+1)1+(2n+1)0。
即 奇完全数必不存在。 证完
2020年夏 |
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