如图，ABCD，AEFG，BEHI，CFJK 都是正方形，求正方形 CFJK 与正方形 BEHI 的面积之比

渣k

单壿教授的一题

王守恩

好题！！！

\(记EA=\sin(A),EB=\sin(B),AB=\sin(A+B),\)

\(FC^2=AF^2+AC^2-2AF*AC\cos(B)\)

\(=2\sin^2(A)+2\sin^2(A+B)-4\sin(A)\sin(A+B)\cos(B)\)

\(\frac{FC^2}{EB^2}=\frac{FC^2}{\sin^2(B)}=k,化简可得k=2\)

kanyikan

luyuanhong

楼上 kanyikan 的解答很好！已收藏。

王守恩

kanyikan 发表于 2022-1-28 16:00

谢谢 kanyikan ！几何证题我不太熟，能证BCFH是平行四边形吗？

kanyikan

王守恩 发表于 2022-1-29 00:54
谢谢 kanyikan ！几何证题我不太熟，能证BCFH是平行四边形吗？

王守恩

kanyikan 发表于 2022-1-29 15:02

好题！！！主帖即是证BCFH是平行四边形。

\(记EA=\sin(A),EB=\sin(B),AB=\sin(A+B),∠BCF=45^\circ+C\)

\(BCFE面积=\frac{\sin(A)\sin(B)\cos(A+B)+\sin(B)\sin(A+B)\cos(A)+\sin(A+B)\sin(A)\sin(B)}{2}\)

\(=\frac{\sin(B)\sin(A+B)\cos(A)+\sin(A+B)*CF*\sin(C+45^\circ)-CF*\sin(B)\sin(A-C+45^\circ)}{2}\)

\(=\frac{\sin(A+B)*CF*\sin(C+45^\circ)+CF*\sin(A)\sin(B+C+45^\circ)-\sin(A)\sin(A+B)\sin(B)}{2}\)

\(化简可得\ \ CF=\sqrt{2}\sin(B)\ \ \ \ \ \ C=A\)