已知 f(x)=(x^2-2x+m)(x^2-2x+n) 的四个零点组成首项为 1／4 的等差数列，求｜m-n｜

中国上海市 · 发表于 2022-1-28 21:28

已知函数f(x)=(x^2－2x+m)(x^2－2x+n)的四个零点组成以1/4为首项的等差数列，则|m-n|等于？

liangchuxu · 发表于 2022-1-29 09:14

本帖最后由 liangchuxu 于 2022-1-29 09:16 编辑

等差项的分布可能还有其它情况，方法相同，结果可能不同。

luyuanhong · 发表于 2022-1-29 13:03

波斯猫猫 · 发表于 2022-1-29 13:24

本帖最后由波斯猫猫于 2022-1-29 14:49 编辑

题：已知函数f(x)=(x^2－2x+m)(x^2－2x+n)的四个零点组成以1/4为首项的等差数列，则|m-n|等于？

提示：设公差为d，则f(x)=(x^2－2x+m)(x^2－2x+n)=（x-1/4）（x-1/4-d）（x-1/4-2d）（x-1/4-3d）.

由根与系数的关系有，1+6d=4，即d=1/2.

故，(x^2－2x+m)(x^2－2x+n)=（x-1/4）（x-3/4）（x-5/4）（x-7/4）

=（x-1/4）（x-7/4）（x-5/4）（x-3/4）=(x^2－2x+7/16)(x^2－2x+15/16)，

即m=7/16，n=15/16或m=15/16，n=7/16.故|m-n|=1/2.

中国上海市 · 发表于 2022-1-29 20:25

谢谢大家精彩解答

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