微积分导数的真实定义及基于该定义的各类无矛盾最简求导法

沈卫国

微积分导数的真实定义及基于该定义的各类无矛盾最简求导法

                         沈卫国

摘要：是前期笔者相关文章内容的概述。即微积分导数的真实定义及基于该定义的各类无矛盾最简求导法。揭示笔者的导数新定义和求导法与传统导数定义及求导法的异同。可以使导数无论是概念还是求法，都大为简化。且彻底消除了贝克莱悖论的疑难，系统中不再包含或隐含任何矛盾，因此更为合理。不但对教学的精简、学生的理解有好处，就是对理论的后续发展，也绝对不会没有帮助。文中还分析了传统微积分究竟为何能在存在明显矛盾的情况下求出了正确的导数的。同时对第一、第二代微积分与非标准分析三者之间的关系进行了剖析。最后对代数求导法的本质进行了讨论。

关键词：微积分；极限法；导数；瞬时速度；定义；贝克莱悖论；矛盾；增量；增量比值函数；增量函数；切线；割线；直线方程；系数；斜率；第一代微积分；第二代微积分；标准分析；非标准分析；代数求导法


      一、新导数定义以及基于这个新定义的各种导数的求法综述

笔者前期涉及微积分的系列文章中（最早2011年前后），提出“导数的新定义”，即：

导数：曲线在某点的切线斜率
与之对应地，
瞬时速度为：某在外力作用下作变速、曲线运动的物体，假设在某时刻（瞬时、时点、0时段）该外力突然消失，其后物体所作匀速直线运动的速度

表面上看，上面两个定义域传统定义区别不大，但传统定义的本质，是曲线函数与其自变量的增量比值在自变量等于0（牛顿、莱布尼兹的第一代微积分）或趋于0（柯西的第二代微积分）时的不可达极限值（也承认此时这个曲线的增量比函数值为0/0），因此它必须依赖于曲线的增量比△y/△x，这就产生了在其自变量△x = 0或△x → 0时的为0/0或非0/0的问题，即“贝克莱悖论”。极限法微积分（所谓的“第二代微积分”）声称自己解决了这个矛盾，但实际上没有，只不过是把这个矛盾用一些更其隐晦的概念给掩盖了，因此它反而不如牛顿、莱布尼兹的所谓“第一代微积分”来的简单明快。况且在后续的一些实际求法、运算中，它实际上还是悄悄地又回到了第一代微积分的做法上来了（见柯朗，数学是什么）。甚至一些较为初等的微积分教材，有意无意地模糊无穷小与极限的区别，以简化教学困难，或者其编撰者本身就并没有十分搞清楚。而在笔者给出的上述导数、瞬时速度的新定义下，我们完全不必再拘泥于增量比值函数，我们就直接由不涉及分母的切线的增量函数方程的系数，来求这个导数，因为我们早就知道（被证明）一个线性方程的系数，就是其导数。我们不必再从头论证。具体做法为（直接以最简单的二次曲线为例）：

众所周知，二次曲线的增量函数最终求得为（见任何教科书）

△y = （2x + △x）• △x
             ....................................................（1）

作为曲线的增量，当然要依赖（受约束）于曲线上的两个点，也就是二者的坐标差。特别地，当这两个点二点合一为一个点时，增量为0，则上式为

0 = （2x + 0）• 0
              .....................................................（2）

这是完全允许的。但如果是增量比值函数 △y/ △x（由1式除以△x得到），此时就会出问题，有0/0的问题。
我们又知道，曲线的增量，与过曲线的两个交点的割线上这两个交点间的坐标差的增量是一样的，它们共享（1式）。为明确起见，为突出割线的线性方程的性质，不妨强调其系数（斜率）k，于是我们有割线的与曲线的交点的增量方程为

△y = （2x + △x）• △x = k（x，△x）•△x
               .....................................................（3）

其中k为该割线方程的系数，众所周知，也就是该割线的斜率。它的数值取决于x、△x，是二者的函数。注意，（3式）仅仅是该割线约束于两个与曲线的交点的增量方程，而不是一般意义的割线方程。而“一般意义的割线方程”为

   △h = （2x + △x）• △g = k（x，△x）•△g
                   .................................................（4）

其中 △h、△g为割线上的任意两个点的纵、横坐标差，它们都可以完全脱离曲线上的两个点（可视为与割线的交点）的△y、△x，与它们在数值上可以完全不同。比如，在（4式）中当 △x = 0或 △x → 0时， △h、△g都可以不为0，而在自变量△g = 0或△g → 0时，△h = 0 ，而 △x完全可以不等于0。注意，这里△x是依赖（约束）与曲线与割线的两个交点的。而△g进而 △h则不必。
当（4式）中的涉及曲线与割线的两个交点的△x = 0或△x → 0时（二者此时数值一样，是“可达极限”），（4式）变为曲线的切线方程，即

       △h = （2x + 0）• △g = 2x • △g = k（x，0）•△g
                   ...................................................（5）

此方程即二次曲线在x点的切线方程，其中的k = 2x，即该二次曲线在x点的切线方程的系数，也就是该切线的斜率。按笔者提出的导数的新定义，这就是二次曲线的导数。
可以看出，按新定义，曲线的导数与其割线、切线方程的增量（割线、切线上的任意两个点之差）△h、△g无关。无论△g = 0（此时 △h 当然也等于0），△g = 1，△g = 5，特别地△g = △x，与作为直线方程的割、切线方程的系数k，均没有关系。于是，所谓求导，就是直接求这个切线方程的系数。即求在△x = 0或△x → 0时（4式）的系数，也就是（5式）的系数，即

k（x，0）= （2x + 0）= 2x
                     ...................................................（6）

必须指出，传统微积分（无论第一代还是第二代）实质上求导求的就是这个。翻检所有微积分教材，对增量比值函数求趋0极限，最终都要落实到这个式子上来。但这并不意味着它们的理解或诠释正确。显然，它们都没有意识到这就是曲线的切线实实在在的系数或斜率，它完全不依赖于曲线上的两个点，而仅仅依赖于曲线在某点的切线（当然是直线！）上的任何两个点。总之，这两个切线上的决定其斜率的点，是任意的，是距离不能为0的（即增量不能为0），是可以完全脱离曲线与切线的的交点的，起码有一个点必须脱离。两个点都脱离当然也无妨。况且这就是直线斜率的定义，其论证任何教科书都早已给出，因此我们只需求出切线方程的系数即可，再不必纠缠于切线上的这两个点了。
传统微积分（无论第一还是第二代），实际求导数就是这么求的。但它们始终认为导数只与曲线的增量比△y/△x有关，而没有认识到导数实际上就是△h/△g (△g ≠ 0时）。而这个分母不再为0的比式，从（5式）看出，就是（6式）。完全不涉及分母是否为0的问题，因为它就根本不需要也没有分母。而传统微积分，求导依赖于曲线上的两个点的增量比△y/△x，曲线函数的自变量△x 不得不在分母上，即使已经通过约分消去了分母上的△x得到了（6式），但由于没有对约分的定义、本质吃透，以为消去了分母上的自变量△x后，式子的本质不变，仍旧是曲线的增量比△y/△x（1式等式两边各除以一个△x即得之），于是当然就不会意识到它是由（5式）得来的。如此，才会有贝克莱悖论的0/0 = 2x疑难。
前面已经说了，任何直线以至于割线、切线的方程系数（斜率）并不是唯一地定义在直线上具体指定的两个点的（任何两个点都可以决定其斜率），那么，即使特别地△g = △x，也无妨其系数或斜率。这就是（1式）了（此时它与（4式）一致）。令其中的△x = 0或
△x → 0，就得到

0 = （2x + 0）• 0 = 2x • 0 = k（x，0）• 0
                   ...................................................（7）

（7式）实际就是（2式）。当然，此式虽然是在△y = △h = △x = △h = 0下得到的，但这一切与其切线的系数k = 2x无关。它们都为0，可系数k就是该切线的斜率在除x = 0点外，都不为0。它没有因为上述诸变量的为0（即曲线与割线的两个交点合二为一成为切线时）而跟着就为0或不存在了，k是只取决于切线上任何两个点的切线斜率（切线方程的系数），它仍旧存在。这从（7式）可以看的很清楚。而我们求导求的就是这个k。
如果令△g = 1，当然也不影响k的数值。此时k = 2x，而△h也等于2x（参见5式）。这个情况就是笔者揭示的约分的实质，它就是令比式中的△x/△x = 1/1。但这仅仅是用于解释第一、第二代微积分究竟是如何在存在贝克莱悖论的情况下，居然还求出了正确的导数的时才用的。因此这种求法也不是必须的。

总之，在笔者的新导数定义下，求导的基本原则和步骤是：

由于曲线方程都是二次以上的，因此总可以像（1式）那样提出一个自变量作为因子，把式子看成是一次的线性方程。其余部分的因子就可以看成是这个割线方程的系数k，即有（3式）或（4式）这样的形式。我们求的就是这个系数k在自变量△x = 0时的切线的系数k，这当然就是切线的斜率。即新定义下的导数。

二、导数的第二定义

此外，鉴于曲线在某点的切线斜率，必和与其平行的曲线的割线等值。因此，我们完全可以有导数的第二定义（详见笔者前期文章）：曲线的割线斜率。此斜率在数值上与过曲线与其割线两个交点的中值点（中值定理意义的）的切线斜率数值相等。即有

k（x， △x）= 2x + △x = 2x1 = k（x1）
       .........................................................（8）

其中x1 = x + △x/2 为中值定理意义的中值点的横坐标，x为割线与其曲线的一个交点的横坐标，x + △x 为其另一个交点的横坐标。
此时无论由切线求割线，还是由割线求切线，都只需移动平行线即可。也就是其斜率始终不变。当然割线与切线的两个交点都不固定。而传统微积分求导，是曲线与其割线的一个交点固定，一个交点不固定，而割线的斜率要变化。由割线的斜率趋于切线的斜率。

导数的第二定义，其实比第一定义应用更多。新导数定义下的积分就是直接基于它的。它彻底消除了传统积分中隐含的矛盾：积分小区间的无限趋于0或与之对应的积分小区间数的趋于无穷暗含的矛盾问题。即，小区间趋于0，那它究竟是不是0？不是，有个精度问题；是，无穷个0相加是什么？不还是0吗？而如果说这个小区间是非0的无穷小，那直接与极限法微积分的初衷矛盾。因为它就是为了消除第一代微积分的舍弃无穷小产生了矛盾（贝克莱悖论）而产生的，怎么会又出来了无穷小？
此外，在传统微积分中著名的自变量的微分dx = △x的不合理的问题，也随之迎刃而解。按导数的第二定义，无论自变量还是因变量，微积分实际上就是其由割线决定的增量。无需什么无穷小，趋0等等。它就是宏观量。因此使得积分理论也大为简化且更合理。同时消除了隐含的矛盾（与贝克莱悖论同构的矛盾）。具体讨论详见笔者前期文章。

三、关于导数问题的小结性讨论与强调

总之，切线方程的系数（斜率）与其上的具体取点无关，切线有了，其作为线性方程的系数或斜率自然也就有了。否则就不叫直线了。于是我们求切线方程的系数或切线的斜率，完全不必拘泥于其上的任何取点。而传统微积分求导，直接依赖于曲线与其割、切线的两个交点，而且还是个在分母上有自变量△x的比式。在△x ≠ 0时，怎么都好说。但当其等于或趋于0时，矛盾立现，会得到无意义的0/0 = 2x，即贝克莱悖论。而这一切问题，直接地，是认为消去分母上的自变量△x后的非比式，与没有消去分母上的自变量△x的比式，这两个式子完全无差别，而不仅仅是数值相等。当然事实不是如此（详细的见笔者前期系列文章）。更深刻的原因，是导数（包括瞬时速度）的定义问题。定义就是这么定的，当然只能这么认为或去求导数。而在笔者提出的新导数定义下，一切问题不再存在，全部迎刃而解。因此，这绝对不是笔者独出心裁的提出了一个“另类”诠释的问题，而是导数的本质实际就是如此，也只能是如此（否则会有矛盾），笔者不过是发现了这点并给出了新的诠释罢了。

本文只着重于强调基本思路。不涉及其它函数的求导。相关问题请读者参考笔者前期系列有关文章。事实上，任何在某域上连续且单调的曲线函数，都会有其割线（曲线与其割线的关系呈现“弓形”或“半月形”），而对于曲线与割线的两个交点而言，曲线的增量（二点间的坐标差）与其割线的增量是一样的。这是整个理论的基础和出发点。因此，任何曲线，我们都可以把其增量方程化为其割线的增量方程。因此，无论什么样的曲线，比如三角函数曲线、指数曲线、对数曲线等等，我们都原则上可以将其增量方程化为其割线方程。进而得到其新定义下的导数。这是任何曲线函数新导数的存在性和可求取性的基础。
过去讲，变量的多少次方、三角函数、指数函数的求导是最基本的。其它函数的导数都可以由这三个函数求出。现在在笔者提出的新导数定义下，只有变量的多少次方这个函数对导函数而言，才是最基本的，三角函数、指数函数的导数都可以由它求出。这样可以使求导过程本质性地被简化。具体可见笔者前期文章。
此外，本文也未涉及极限法微积分（第二代微积分、标准分析）在求导过程中的问题。这方面的讨论，也请读者参考笔者前期文章。

特别强调，即使极限法微积分求导没有任何问题，并不就等于笔者的导数新定义及基于它的求导法有问题。相反，如果前者有问题，后者就是唯一的选择。即：如果极限法求导无问题，笔者求导法与之相互独立；而如果前者有问题，后者当然可以取代它。

四、无论第一、还是第二代微积分究竟是如何在看似产生矛盾（贝克莱悖论）的情况下反而求出了正确的导数的

笔者前期文章专门谈过这个问题。这里再重复解释一下：无论牛顿、莱布尼兹的所谓“第一代微积分”还是柯西、外尔斯特拉斯的极限法“第二代微积分”，究竟是如何从“看似矛盾”（会产生贝克莱悖论。前者明显，后者隐蔽。具体论证省略。读者请见笔者前期系列文章）的求导过程反而得到正确的导数数值的。

在在△x ≠ 0的前提下，（1式）等号两边都可以两边除以△x。传统上似乎是理所当然地认为可以直接得到

△y/△x = （2x + △x）
           ..........................................................（9）

但事实上严格地，这要分成两步。即先得到

  △y/△x = （2x + △x）•△x/△x
                 ....................................................（10）

  再约分消去分母上的△x，进而认为得到了（9式）。但事实上，约分只是“约去分子、分母上共同的因子”，并没有说把一个分式直接变成了非分式。也就是说，经过约分后，分式还是分式，其作为分式的性质不变。于是，对（10式）的等式右边的比式约分，只是将这个比式中的△x/△x变成了1/1，然后如果这个“1/1”对其后的运算毫无影响（大部分情况确实如此），自然可以舍弃成为（9式）。但此时不行，因为这里的传统微积分的求导运算过程无疑是涉及分母上的自变量△x的。于是，所谓的对（10式）的约分消分母操作，其等号的右边显然应该是（2x + △x）•1/1，分母上原先的那个△x此时变为“1”了，分子也由原先的（2x + △x）•△x变为了2x + △x）•1。如此，原先（10式）等号左边还应该再写为△y/△x 吗？等号的右边经过约分操作都变了，等号的左边不变？于是，（10式）等号左边的分母上的△x ，也应该相应地成为“1”，以与等号右边的分式的分母相一致（等式所要求的）。其分子上的△y，也不再是（2x + △x）•△x，而应该是△y， = （2x + △x）•1 = 2x + △x，于是，经过约分操作后，（10式）就不应该是普遍认为的（9式），而是

      △y，/1 = （2x + △x）•1/1
                 ...................................................（11）

而且就算有人还不愿意承认约分后分母为1，那么，既然（10式）的等号右边消去了分母上的△x后分母就没有了，那么，其等号左边的 △y/△x 分母上的△x是不是也应该相应地去掉？凭什么等号的右边把分母上的自变量△x去掉了，等号左边的分母上的△x就不去掉还非得保留？于是，就是按此思路，我们也只能得到

     △y， = 2x + △x
                   ...................................................（12）
  
而得不到（9式）。显然  △y， ≠ △y。于是，无论是牛顿、莱布尼兹的所谓“第一代微积分”的令△x = 0还是柯西、外尔斯特拉斯的极限法“第二代微积分”的令△x → 0，实际上都并不是像他们以为的是针对（10式）或（9式）的了，而是只要已经过约分，无论是否被认识到，实质上都只能是针对（12式）进行△x = 0或△x → 0的操作。如此，笔者前文及前期系列文章早就阐明了，只要一对（10式）进行约分，其式子中的三个 △x就不再一样了。其中的△x/△x变成了1/1，而分子的一个因子（2x + △x）中的那个△x还在，并且会最终随求导过程而等于0或趋于0（因为此时没有分母上的自变量△x的问题了，因此这个极限就是“可达极限”，即极限值与函数值相等）。于是，（10式）中的三个△x，两个变成了1，而一个还在，最终还为0，说明了什么？只能说明只要一经过约分消分母操作，（10式）中的三个△x就不是同一个变量了。1/1可以等于任何“自比”的数值或变量，比如5/5。在△x ≠ 0的前提下，当然也可以等于△x/△x。而且对任何变量△g ≠ 0，都有1/1 = △g/△g，代入（11式），就有

△y，/1  = △h/△g = （2x + △x）•△g/△g = k（x，△x）•△g/△g
                         .............................................（13）
对比（4式），这就是二次曲线的割线的增量比值函数。这是一个线性方程，k为其系数，也就是该割线的斜率。当△x = 0或△x → 0时，就得到

△h/△g =（2x + 0）•△g/△g = k（x，0）•△g/△g=  k（x，0）•1/1 = k（x，0）= 2x
                                  ....................................（14）

这就是切线的增量比值函数，其中的k = 2x，就是切线方程的系数，也就是切线的斜率。注意，这里的△g ≠ 0，因此再无分母是否为0的问题。而且系数k，就是实实在在的切线的斜率。不再存在基于△y/△x的传统微积分求导中出现的分母△x是否为0，是否为无穷小，涉及分母上的自变量△x的不可达极限究竟是什么之类的怎么解释其实也解释不通的问题。
以上，就完满地诠释了传统微积分，无论第一还是第二代微积分究竟是如何求出了正确的导数值的，而其中的明显矛盾（第一代）和隐蔽矛盾（第二代）都不再有存在的基础，贝克莱悖论彻底予以消除。并且微积分理论可以大为简化，不可达极限不再是必须的，导数就是一个堂堂正正的比式，可以任意分拆，微分就是一个增量，它不必是无穷小，也不必趋于0。当然，它与无穷小可以兼容，并不排斥无穷小。
显然由本文前面及前期文章的讨论可见，在笔者的导数新定义下，这个求导法并不是必须的。其中的分母△g完全可以不要，而改变切线的增量比函数为增量函数，它同样可以求出其系数（斜率）k。而只要求出这个k，我们的目的就达到了，无论用什么方式去求。

五、补遗：代数联立方程求导法及其本质

     此节本应该放到第一小节中去的，但笔者不愿意再改动公式的编号，以防止可能出现的混乱，因此单立一节专门讨论这个问题。
      笔者2011年第一篇涉及微积分的文章，就是讨论的这个问题。此种求导法为笔者独立发现，后来了解到，此法也许“古已有之”，甚至可能几百年前在牛顿等之前就有了。但其真实意义，不在笔者提出的导数的新定义下，是难以被揭示的。
设与二次曲线函数与线性函数（当然是一次的）的联立方程组

y = x2
y = kx + c
      .............................................................（15）

其中k为直线方程的系数，也就是直线的斜率。c为常数。代入并消去因变量y后为

x2 - kx - c = 0
       ..............................................................（16）

利用著名的求根公式，求这个一元二次方程的重根，就得到k = 2x。即二次曲线的切线的斜率。也就是新定义下的导数。依据当然是重根意味着该直线与二次曲线只有一个交点，这当然就是切线。
更简单的方法是直接由二次曲线与直线的增量方程组求导

△y = （2x + △x）•△x
△y = k•△x
            ...........................................................（17）

     此时有两种方法求k，一种为同样地代入消去△y，可以得到一个一元二次方程为

        △x2 + （2x - k）•△x = 0
             ...........................................................（18）

  同样利用求根公式求这个一元二次方程的重根，并考虑曲线与直线只有一个交点时（重根的条件）△x = 0这一因素，我们也可以求得k = 2x。
另一种更加直接了当的求法是，（17式）中方程组中的两式消去△y后，甚至直接对比方程组中的两式，都可以得到

k•△x = （2x + △x）•△x
                  .....................................................（19）

对比（19式）等号两边，甚至同样对比（17式）方程组，都可自然得到k = 2x + △x，令其中的△x = 0，自然也得到k = 2x。
以上无论哪种具体方法，可以看出求出的就是通常意义的的切线的斜率k，就是通常意义的直线斜率，或直线方程的系数，完全不涉及任何关于无穷小和不可达极限的含义（就是非要说是需要极限，也是可达极限，即△x = 0与△x → 0是一回事）。而传统微积分求导，是试图用曲线的增量比值函数△y/△x来决定当其自变量△x = 0或△x → 0时的数值，而不是直接由直线来决定本质上是个比值的斜率k。这当然肯定要产生贝克莱悖论的矛盾。
尽管早在微积分被牛顿等创造之前，可能就有了由（15式）、（16式）求出k = 2x的先例。但求重根的方法对高次方程和其它函数的求导似乎是无能为力的。只有在笔者的新导数定义下，才可以将这种求导法的思想彻底澄清并推而广之。即可以看出，由（17式）、（19式）的求导思路，显然不止局限于二次函数。其本质实际上就是前文提到的对一个二次以上的曲线函数“提出”一个自变量△x作为因子，公式的其余部分构成另一个因子，这个因子就是该直线方程的系数或斜率k。比如在（19式）中，一目了然，k = （2x + △x）就是另一个因子。（19式）中k中的△x和与k相乘的那个△x数值尽管可以（不必须！）相等，但在本质上不同。k中的△x约束于曲线上的点，而k外的那个△x作为直线方程的自变量，实际是自由的，不必约束于曲线上的点。即我们完全可以将（19式）写成

k•△g = （2x + △x）•△g
                ..................................................（20）

其中△g是直线（此例中当然就是割线或切线）上任何两个点之差（增量）。它也可以等于0，但与k值无关。△g当然可以等于△x，但不必非等于△x。而△x远不能等于△g的全部，只是其一个真子集。△g由割线、切线上的任何两个点决定，而△x由曲线上的任何两个点决定。二者有交集，但不是一回事。









                     新旧导数定义及求导过程对比动态图

图中△y1/△x1即本文中的△h/△g，△x1在图中恒为“1”，而△y/△x为传统求导所依赖的曲线的增量比

            




                参考文献

国家科技图书文献中心预印本笔者相关文章；知乎网“何许”（笔者别名）博客相关文章；网上搜索笔者正式发表的相关文章