由三角形三条角平分线长如何计算边长

天山草

已知三角形各内角的平分线长分别是 \(ta=1.05531, tb = 1.2339,  tc = 1.1252\) 以及平分线长与边长的计算公式，如何算出各边 \(a，b，c\) 的长度?  用任何计算软件、任何方法都可以。

计算依据是下面三个公式：

\(ta=\frac{\sqrt{bc(b+c+a)(b+c-a)}}{b+c}\);
\(tb=\frac{\sqrt{ca(c+a+b)(c+a-b)}}{c+a}\);
\(tc=\frac{\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}}{a+b}\);

式中 \(ta\) 是角 \(A\) 的平分线，余类推。\(a\) 是角 \(A\) 的对边，余类推。

如果直接用 mathematica 软件中的 NSolve 指令解上面三个方程是不行的，得出的是错误结果。

我用的是一个非常规方法，得到了下面这个正确的结果：\(a = 1.41412，  b = 1.20822，  c = 1.33451\) 。

期待看到网友们的计算方法。

宇宙无理数

可以试一试利用汇心几何学求解, 思路很直接, 只要利用定理12.1.3 (V3版), 就可以建立非线性方程组, 然后求解.

天山草

【初等数学讨论】网站的网友推荐的计算程序是：

天山草

如果把主帖中的三个方程消元， 可得到一个  f1 (a, ta, tb, tc )= 0 的方程。由这个方程可以解出边长 a 的值。同样可由  f2 (b, ta, tb, tc )= 0 的方程解出  b，由 f3 (c, ta, tb, tc )= 0 的方程解出 c。
不知道如何人工求出上述三个方程？ 因为 f1 =0  方程是  a  的 20 次方的多项式 (下式中 x=ta, y=tb, z=tc )：
f1 = 256 a^20 (x - y)^2 y^2 (x + y)^2 (x - z)^2 z^2 (x + z)^2 (x y -
      x z - y z) (x y + x z - y z) (x y - x z + y z) (x y + x z +
      y z) + 256 a^18 (x^14 y^8 - 2 x^12 y^10 + x^10 y^12 -
      9 x^12 y^8 z^2 + 11 x^10 y^10 z^2 - 6 x^8 y^12 z^2 -
      2 x^14 y^4 z^4 + 3 x^12 y^6 z^4 + 40 x^10 y^8 z^4 -
      31 x^8 y^10 z^4 + 14 x^6 y^12 z^4 + 3 x^12 y^4 z^6 -
      x^10 y^6 z^6 - 66 x^8 y^8 z^6 + 44 x^6 y^10 z^6 -
      16 x^4 y^12 z^6 + x^14 z^8 - 9 x^12 y^2 z^8 + 40 x^10 y^4 z^8 -
      66 x^8 y^6 z^8 + 72 x^6 y^8 z^8 - 31 x^4 y^10 z^8 +
      9 x^2 y^12 z^8 - 2 x^12 z^10 + 11 x^10 y^2 z^10 -
      31 x^8 y^4 z^10 + 44 x^6 y^6 z^10 - 31 x^4 y^8 z^10 +
      11 x^2 y^10 z^10 - 2 y^12 z^10 + x^10 z^12 - 6 x^8 y^2 z^12 +
      14 x^6 y^4 z^12 - 16 x^4 y^6 z^12 + 9 x^2 y^8 z^12 -
      2 y^10 z^12) -
   32 a^16 (40 x^14 y^10 - 24 x^12 y^12 + 16 x^10 y^14 +
      40 x^14 y^8 z^2 - 299 x^12 y^10 z^2 + 137 x^10 y^12 z^2 -
      72 x^8 y^14 z^2 - 80 x^14 y^6 z^4 - 320 x^12 y^8 z^4 +
      795 x^10 y^10 z^4 - 351 x^8 y^12 z^4 + 128 x^6 y^14 z^4 -
      80 x^14 y^4 z^6 + 166 x^12 y^6 z^6 + 971 x^10 y^8 z^6 -
      1097 x^8 y^10 z^6 + 390 x^6 y^12 z^6 - 112 x^4 y^14 z^6 +
      40 x^14 y^2 z^8 - 320 x^12 y^4 z^8 + 971 x^10 y^6 z^8 -
      1155 x^8 y^8 z^8 + 762 x^6 y^10 z^8 - 178 x^4 y^12 z^8 +
      48 x^2 y^14 z^8 + 40 x^14 z^10 - 299 x^12 y^2 z^10 +
      795 x^10 y^4 z^10 - 1097 x^8 y^6 z^10 + 762 x^6 y^8 z^10 -
      274 x^4 y^10 z^10 + 49 x^2 y^12 z^10 - 8 y^14 z^10 -
      24 x^12 z^12 + 137 x^10 y^2 z^12 - 351 x^8 y^4 z^12 +
      390 x^6 y^6 z^12 - 178 x^4 y^8 z^12 + 49 x^2 y^10 z^12 -
      23 y^12 z^12 + 16 x^10 z^14 - 72 x^8 y^2 z^14 +
      128 x^6 y^4 z^14 - 112 x^4 y^6 z^14 + 48 x^2 y^8 z^14 -
      8 y^10 z^14) +
   16 a^14 (118 x^14 y^12 - 2 x^12 y^14 + 16 x^10 y^16 +
      428 x^14 y^10 z^2 - 807 x^12 y^12 z^2 + 172 x^10 y^14 z^2 -
      64 x^8 y^16 z^2 - 118 x^14 y^8 z^4 - 2001 x^12 y^10 z^4 +
      1542 x^10 y^12 z^4 - 398 x^8 y^14 z^4 + 96 x^6 y^16 z^4 -
      856 x^14 y^6 z^6 - 1022 x^12 y^8 z^6 + 3120 x^10 y^10 z^6 -
      1772 x^8 y^12 z^6 + 280 x^6 y^14 z^6 - 64 x^4 y^16 z^6 -
      118 x^14 y^4 z^8 - 1022 x^12 y^6 z^8 + 3533 x^10 y^8 z^8 -
      2347 x^8 y^10 z^8 + 817 x^6 y^12 z^8 - 62 x^4 y^14 z^8 +
      16 x^2 y^16 z^8 + 428 x^14 y^2 z^10 - 2001 x^12 y^4 z^10 +
      3120 x^10 y^6 z^10 - 2347 x^8 y^8 z^10 + 1040 x^6 y^10 z^10 -
      365 x^4 y^12 z^10 + 28 x^2 y^14 z^10 + 118 x^14 z^12 -
      807 x^12 y^2 z^12 + 1542 x^10 y^4 z^12 - 1772 x^8 y^6 z^12 +
      817 x^6 y^8 z^12 - 365 x^4 y^10 z^12 - 87 x^2 y^12 z^12 -
      18 y^14 z^12 - 2 x^12 z^14 + 172 x^10 y^2 z^14 -
      398 x^8 y^4 z^14 + 280 x^6 y^6 z^14 - 62 x^4 y^8 z^14 +
      28 x^2 y^10 z^14 - 18 y^12 z^14 + 16 x^10 z^16 -
      64 x^8 y^2 z^16 + 96 x^6 y^4 z^16 - 64 x^4 y^6 z^16 +
      16 x^2 y^8 z^16) -
   a^12 (720 x^14 y^14 + 288 x^12 y^16 + 10608 x^14 y^12 z^2 -
      3217 x^12 y^14 z^2 + 288 x^10 y^16 z^2 + 11216 x^14 y^10 z^4 -
      35778 x^12 y^12 z^4 + 8666 x^10 y^14 z^4 - 576 x^8 y^16 z^4 -
      22544 x^14 y^8 z^6 - 43775 x^12 y^10 z^6 +
      18872 x^10 y^12 z^6 - 5967 x^8 y^14 z^6 - 576 x^6 y^16 z^6 -
      22544 x^14 y^6 z^8 - 37340 x^12 y^8 z^8 + 34894 x^10 y^10 z^8 -
      20854 x^8 y^12 z^8 + 2140 x^6 y^14 z^8 + 288 x^4 y^16 z^8 +
      11216 x^14 y^4 z^10 - 43775 x^12 y^6 z^10 +
      34894 x^10 y^8 z^10 - 19615 x^8 y^10 z^10 -
      3050 x^6 y^12 z^10 - 143 x^4 y^14 z^10 + 288 x^2 y^16 z^10 +
      10608 x^14 y^2 z^12 - 35778 x^12 y^4 z^12 +
      18872 x^10 y^6 z^12 - 20854 x^8 y^8 z^12 - 3050 x^6 y^10 z^12 -
      6480 x^4 y^12 z^12 - 966 x^2 y^14 z^12 + 720 x^14 z^14 -
      3217 x^12 y^2 z^14 + 8666 x^10 y^4 z^14 - 5967 x^8 y^6 z^14 +
      2140 x^6 y^8 z^14 - 143 x^4 y^10 z^14 - 966 x^2 y^12 z^14 -
      81 y^14 z^14 + 288 x^12 z^16 + 288 x^10 y^2 z^16 -
      576 x^8 y^4 z^16 - 576 x^6 y^6 z^16 + 288 x^4 y^8 z^16 +
      288 x^2 y^10 z^16) +
   a^10 x^2 (81 x^12 y^16 + 3972 x^12 y^14 z^2 + 1254 x^10 y^16 z^2 +
      22468 x^12 y^12 z^4 - 8012 x^10 y^14 z^4 + 1215 x^8 y^16 z^4 -
      3972 x^12 y^10 z^6 - 34520 x^10 y^12 z^6 + 1672 x^8 y^14 z^6 +
      84 x^6 y^16 z^6 - 45098 x^12 y^8 z^8 - 35778 x^10 y^10 z^8 -
      11013 x^8 y^12 z^8 - 2152 x^6 y^14 z^8 + 1215 x^4 y^16 z^8 -
      3972 x^12 y^6 z^10 - 35778 x^10 y^8 z^10 - 4764 x^8 y^10 z^10 -
      10400 x^6 y^12 z^10 - 860 x^4 y^14 z^10 + 1254 x^2 y^16 z^10 +
      22468 x^12 y^4 z^12 - 34520 x^10 y^6 z^12 -
      11013 x^8 y^8 z^12 - 10400 x^6 y^10 z^12 -
      12772 x^4 y^12 z^12 - 1868 x^2 y^14 z^12 + 81 y^16 z^12 +
      3972 x^12 y^2 z^14 - 8012 x^10 y^4 z^14 + 1672 x^8 y^6 z^14 -
      2152 x^6 y^8 z^14 - 860 x^4 y^10 z^14 - 1868 x^2 y^12 z^14 -
      432 y^14 z^14 + 81 x^12 z^16 + 1254 x^10 y^2 z^16 +
      1215 x^8 y^4 z^16 + 84 x^6 y^6 z^16 + 1215 x^4 y^8 z^16 +
      1254 x^2 y^10 z^16 + 81 y^12 z^16) -
   a^8 x^4 y^2 z^2 (432 x^10 y^14 + 8336 x^10 y^12 z^2 +
      2672 x^8 y^14 z^2 + 19760 x^10 y^10 z^4 - 4049 x^8 y^12 z^4 +
      3808 x^6 y^14 z^4 - 28528 x^10 y^8 z^6 - 11252 x^8 y^10 z^6 -
      3748 x^6 y^12 z^6 + 3808 x^4 y^14 z^6 - 28528 x^10 y^6 z^8 -
      4966 x^8 y^8 z^8 - 17532 x^6 y^10 z^8 + 442 x^4 y^12 z^8 +
      2672 x^2 y^14 z^8 + 19760 x^10 y^4 z^10 - 11252 x^8 y^6 z^10 -
      17532 x^6 y^8 z^10 - 9980 x^4 y^10 z^10 - 2740 x^2 y^12 z^10 +
      432 y^14 z^10 + 8336 x^10 y^2 z^12 - 4049 x^8 y^4 z^12 -
      3748 x^6 y^6 z^12 + 442 x^4 y^8 z^12 - 2740 x^2 y^10 z^12 -
      945 y^12 z^12 + 432 x^10 z^14 + 2672 x^8 y^2 z^14 +
      3808 x^6 y^4 z^14 + 3808 x^4 y^6 z^14 + 2672 x^2 y^8 z^14 +
      432 y^10 z^14) +
   16 a^6 x^6 y^4 z^4 (54 x^8 y^12 + 492 x^8 y^10 z^2 +
      216 x^6 y^12 z^2 + 202 x^8 y^8 z^4 + 121 x^6 y^10 z^4 +
      324 x^4 y^12 z^4 - 1496 x^8 y^6 z^6 + 235 x^6 y^8 z^6 +
      3 x^4 y^10 z^6 + 216 x^2 y^12 z^6 + 202 x^8 y^4 z^8 +
      235 x^6 y^6 z^8 - 368 x^4 y^8 z^8 - 149 x^2 y^10 z^8 +
      54 y^12 z^8 + 492 x^8 y^2 z^10 + 121 x^6 y^4 z^10 +
      3 x^4 y^6 z^10 - 149 x^2 y^8 z^10 - 75 y^10 z^10 +
      54 x^8 z^12 + 216 x^6 y^2 z^12 + 324 x^4 y^4 z^12 +
      216 x^2 y^6 z^12 + 54 y^8 z^12) -
   32 a^4 x^8 y^6 z^6 (24 x^6 y^10 + 88 x^6 y^8 z^2 +
      72 x^4 y^10 z^2 - 112 x^6 y^6 z^4 + 29 x^4 y^8 z^4 +
      72 x^2 y^10 z^4 - 112 x^6 y^4 z^6 + 10 x^4 y^6 z^6 -
      46 x^2 y^8 z^6 + 24 y^10 z^6 + 88 x^6 y^2 z^8 +
      29 x^4 y^4 z^8 - 46 x^2 y^6 z^8 - 35 y^8 z^8 + 24 x^6 z^10 +
      72 x^4 y^2 z^10 + 72 x^2 y^4 z^10 + 24 y^6 z^10) +
   256 a^2 x^10 y^8 z^8 (x^2 y^2 + x^2 z^2 + y^2 z^2) (x^2 y^6 -
      x^2 y^4 z^2 + y^6 z^2 - x^2 y^2 z^4 - 3 y^4 z^4 + x^2 z^6 +
      y^2 z^6) + 256 x^12 y^14 z^14;

王守恩

天山草 发表于 2022-2-17 11:13
如果把主帖中的三个方程消元， 可得到一个  f1 (a, ta, tb, tc )= 0 的方程。由这个方程可以解出边长 a 的 ...

这样就可以。

\(已知3条角平分线\ t_{a},t_{b},t_{c}，求3条边\ a,b,c,\)

\(记3条边为\ k\sin(A),k\sin(B),k\sin(C),则根据面积相等，我们有\)

\(t_{a}\sin(A)\sin(\frac{A}{2}+B)=t_{b}\sin(B)\sin(\frac{B}{2}+C)=t_{c}\sin(C)\sin(\frac{C}{2}+A)=k\sin(A)\sin(B)\sin(C)\ \ (1)\)

譬如：\(t_{a}=4,t_{b}=5,t_{c}=6\)
NSolve[{4 Sin[A] Sin[A/2 + B]==5 Sin[B] Sin[B/2 + C]==6 Sin[C] Sin[C/2 + A]==k Sin[A] Sin[B] Sin[C],
  A + B + C == \[Pi], \[Pi]/2 > A > 0, \[Pi]/2 > B > 0, \[Pi]/2 > C >  0}, {A, B, C, k}]
{{A -> 1.42176, B -> 0.985725, C -> 0.734107, k -> 7.10547}}

\((1)太长了，短一点。\frac{t_{a}\sin(A/2+B)}{\sin(C)\sin(B)}=\frac{t_{b}\sin(B/2+C)}{\sin(A)\sin(C)}=\frac{t_{c}\sin(C/2+A)}{\sin(B)\sin(A)}=k\)

\(这样方便一些。\frac{t_{a}\sin(A/2+B)}{\sin(A+B)\sin(B)}=\frac{t_{b}\sin(B/2+A)}{\sin(B+A)\sin(A)}=\frac{t_{c}\sin(A/2-B/2)}{\sin(A)\sin(B)}=\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(A+B)}\)

王守恩

天山草 发表于 2022-2-17 11:13
如果把主帖中的三个方程消元， 可得到一个  f1 (a, ta, tb, tc )= 0 的方程。由这个方程可以解出边长 a 的 ...

1楼也是可以的。
NSolve[{\(\frac{\sqrt{b c (b + c + a) (b + c - a)}}{b + c}= 1.05531, \frac{\sqrt{c a (c + a + b) (c + a - b)}}{c + a} = 1.2339, \)
\(\frac{\sqrt{a b (a + b + c) (a + b - c)}}{a + b}= 1.1252, a > 0, b > 0, c > 0\)}, {a, b, c}]
{{a -> 1.41412, b -> 1.20822, c -> 1.33451}}

简单一点。
NSolve[{\(\frac{\sqrt{b c (b + c - a)}}{1.05531 (b + c)}=\frac{\sqrt{ c a (c + a - b)}}{1.2339 (c + a)}= \frac{\sqrt{a b (a + b - c)}}{
   1.1252 (a + b)}=\frac{1}{\sqrt{(a + b + c)}}\), a > 0, b > 0, c > 0}, {a, b, c}]
{{a -> 1.41412, b -> 1.20822, c -> 1.33451}}