对于麦克斯韦方程组，洛伦兹变换的低速极限是伽利略变换吗？

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对于麦克斯韦方程组，洛伦兹变换的低速极限是伽利略变换吗？

撰文 | 戴希 (香港科技大学物理系)、沙威 (浙江大学信息与电子工程学院)、陈昊 (普林斯顿大学电气与计算机工程系)

来源 | 选自《物理》2022 年第 3 期

运动介质的电动力学，这个启发爱因斯坦那一代科学家发展出狭义相对论的著名问题，最近再一次成为中国科技界的热点话题。在热烈的讨论过程中，有一个问题反复出现，就是对于描写电磁场运动规律的麦克斯韦方程组，有非相对论极限吗？当运动介质的速度远低于光速的时候，我们可以不考虑相对论效应，用伽利略变换来近似洛伦兹变换吗？经过讨论，笔者发现许多科技工作者对这个问题存在不同程度的误解，其中最大的一个就是以为介质速度不快就没有相对论效应，伽利略变换也近似可用。造成这一误解的主要原因还是对狭义相对论的理解不够透彻，尤其是对狭义相对论与经典电磁学之间的密切联系缺乏认识。下面，笔者将通过这篇短文，专门介绍一下洛伦兹变换的低速近似问题。

01  只有在研究高速运动的物体时才需要狭义相对论吗？

许多介绍相对论的科普文章和教科书都以相对论力学为主要介绍对象，这一方面是因为力学研究的对象更贴近人们的生活，另一方面也是为了方便“炫耀”相对论的神奇，以便把“时间旅行”、“回到未来”这些荒诞不经的幻想和薛定谔的那只猫一样，推上大众文化的餐桌，反复消费。其实，狭义相对论是19世纪下半叶科学家们在研究电磁现象的时候逐步建立起来的。在笔者看来，对电磁现象而言，狭义相对论的出现非常自然和必要，相反非相对论的电磁世界才是荒唐且不合逻辑的。实际上，狭义相对论的提出，正是为了统一力学世界和电磁世界中关于参照系变换截然不同的观念[1]。让我们先从相对性原理讲起。

相对性原理是一条自然界的公理，即物理规律在任何惯性参照系下都保持一致。我们很容易检验，经典的牛顿力学满足相对性原理。在通过伽利略变换，把时空坐标从一个参照系变换到另一个参照系后，物体的坐标、速度、动量等都会发生改变；但决定这些物理量演化的规律保持相同的形式，即牛顿三大定律在不同的惯性系下保持完全一样的形式。比如牛顿第一定律：当一个物体处于不受力的状态时，它的速度保持不变。在实验室参照系 S 下牛顿第一定律可以写成 u=常数 。现在假设一个以速度 v 相对于实验室参照系匀速直线运动的 S′ 系，根据牛顿力学背后的绝对时空观，我们可以用如下伽利略变换建立不同惯性系下的坐标 (x，y，z，t) 和 (x′，y′，z′，t′) 之间的关系：x′=x-vt ；y′=y ；z′=z ；t′=t ，并得到在 S′ 系下牛顿第一定律的形式为 u′=u-v=常数 。可以看到，虽然在不同惯性系下观察者分别测到不同的速度 u 和 u′ ，但不受外力的物体的运动速度在各自的参考系下均保持不变，这一运动学规律的形式是完全一致的。  



现在问题来了，同一个物理过程，实验室参照系 S 和运动参照系 S′ 的两个观察者得出截然不同的结论！一个认为试探电荷不受力，与导线之间的距离保持不变；另一个却认为试探电荷会受力并加速运动。这个简单的案例，给出了对一个经典电磁学问题用伽利略变换进行时空坐标变换的一个佯谬。那么到底谁对谁错，又是在哪个环节出了问题？是相对性原理不适用于电磁现象？还是伽利略变换不适用于电磁现象？

这是 19 世纪末物理学界最令人抓狂的问题，最后由那一代物理学家中的杰出代表洛伦兹、庞加莱和爱因斯坦等给出了令人信服的答案——狭义相对论。针对上述佯谬，答案应该是 S 系中观察者的观点是对的，电荷不受力。那么 S′ 系的观察者做错了哪一点呢？问题出在从 S 系到 S′ 系的时空坐标变换。狭义相对论告诉我们，在两个惯性参照系之间，严格的时空坐标变换形式是洛伦兹变换而不是伽利略变换，无论对力学现象还是电磁现象都是如此。只是对于牛顿力学研究的宏观物体来说，伽利略变换是在低速 (远低于光速) 下的很好近似。然而对于电磁场这样的规范场来讲，它对应的微观粒子——光子是无质量的，如果要保留电磁场方程自身的动力学，在任何情况下伽利略变换都不是一个物理上可接受的近似。比如上述佯谬就是一个典型案例，哪怕运动速度 v 远远低于光速，这个问题还是一样存在，是定性而非定量的错误问题。实际上对 S′ 参照系中的观测者来说，他观测到的电流 I′ 并不等于 I ，更重要的是他测到的导线不再是电中性的而是带有均匀的电荷密度 ρ′ ！正是电荷密度 ρ′ 产生的径向电场严格抵消掉了磁场产生的洛伦兹力，使得 S′ 参照系中的观测者得到跟 S 系中一样的总力严格为零的结论，从而满足相对性原理。




图 1 在洛伦兹变换下，两个惯性参照系 S 和 S′ 中电荷运动情况



02  动体介质电动力学方程





03  什么是“伽利略电磁学”？

上面我们以如何求运动介质的本构关系为例，介绍了如何做洛伦兹变换的低速展开，即严格按照洛伦兹变换的步骤，同时做电磁场、源场、时空坐标、时空坐标导数的变换，得到最后的表达式后，再对其中出现的所有 v/c 项做展开到一阶。在大多数情况下就是把其中出现的 γ 因子近似成 1 而已。在笔者看来，这样的展开毫无必要，因为哪怕不做任何近似，洛伦兹变换就已经是线性变换了，足够简单了。在这个计算资源丰富的时代，做这点近似带来的变化无非是写程序的时候写一行还是两行，按计算器的时候按三下还是五下的区别。当然，做了近似以后，在解析表达式上我们可以用统一的矢量方程描写，不必把平行和垂直分量分开写，看起来会简洁一些。然而在历史上，还有一种在洛伦兹变换线性展开的基础上，针对不同的具体问题对场量再做进一步近似的方法，称为“伽利略电磁学”[6]，下面我们再简单介绍一下这种近似方法和伽利略变换的关系。



那么现在问题来了，上述两套准静态极限下的近似方程满足伽利略变换吗？关于这个问题的讨论，在20世纪的许多文献里是非常混乱的。在我们给出明确的回答之前首先要澄清一下这些问题，即“当我们在说某个方程组满足伽利略变换的时候，我们到底在说什么”？在许多文献[7，8]里，作者实际上是在说这样一个逻辑过程。第一步，对时空坐标做伽利略变换，然后问需要对电磁场和源场做什么样的相应变换可以保持变换后的方程形式不变，通过这一条件得到场和源的变换关系。这么做其实是在反推洛伦兹变换中场和源的变换方式在满足上述准静态条件时的近似形式。但问题是源场，也就是电荷密度和电流密度，可以由微观带电粒子的坐标和运动速度完全确定，所以它们的变换形式是可以通过伽利略变换直接得到的，不必通过电磁学方程不变这个条件反推。那么，只有通过上述过程反推出来的电荷密度和电流密度的变换形式与伽利略变换直接得到的一致，才可以说这样的近似方程组满足伽利略变换，如果不一致则说明这里面有不自洽之处，源的变换关系不能通过伽利略变换得到。



很明显，这里要求的源场，即电荷密度和电流密度的变换关系完全不能由伽利略变换直接得到。因此，磁极限准静态近似下的变换关系不能看作是跟伽利略变换自洽的，事实上它只能通过对洛伦兹变换做低速展开，并忽略掉上述情况下场量的高阶小量才能得到。这一有趣的电和磁的不对称性是有其深刻物理含义的，伟大的物理学家费曼在其《费曼物理学讲义》第二卷第一章中系统地阐述了这种电磁不对称性，并指出磁现象在本质上是完全相对论性的，不存在“非相对论磁学”，我们拟另文专门展开讨论这一问题。另外，我们还要指出一点，无论是电极限还是磁极限下的“伽利略电磁学”，本质上都是在某些特殊条件下彻底忽略电磁场自身的动力学，而不是对电磁场动力学去做各种错误的“近似”。最后，利用变换(16)和(17)，读者可以自己再去做一遍上文中运动介质中的电动力学问题，会发现得到的结果与正确的闵可夫斯基形式(13)并不一致，这也是由于在“伽利略电磁学”中忽略电磁场动力学所导致的。

参考文献

[1] Einstein A. Annalen der Physik，2005，14：194

[2] 费曼物理学讲义，13-6，https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_13.html

[3] 乔治·伽莫夫，罗素·斯坦纳德 著，吴伯泽 译. 物理世界奇遇记，第一章至第五章. 北京：科学出版社，2008

[4] Van Bladel J. Relativity and Engineering. Springer Series in Electrophysics，1984

[5] Tai C. Proceedings of the IEEE，1964，52：685

[6] Rousseaux G. The European Physical Journal Plus，2013，128：81

[7] Le Bellac M，Levy- Leblond J M. Il Nuovo Cimento，1973，14：217

[8] de Montigny M，Rousseaux G. European Journal of Physics，2006，27：755

[9] Rousseaux G. The European Physical Journal Plus，2013，128：81

[10] 大卫·J. 格里菲斯 著，贾瑜 注释.电动力学导论(英文注释版·原书第4版). 北京：机械工业出版社，2021

[11] J. D. 杰克逊 著.经典电动力学(第3版影印版). 北京：高等教育出版社，2004

[12] 爱因斯坦 著，杨润殷 译，胡刚复 校.狭义与广义相对论浅说.北京：北京大学出版社，2018

[13]W. 泡利 著，洪铭熙，苑之方 译，留润州 校.泡利物理学讲义(第 一、二、三卷). 北京：高等教育出版社，2014

本文转载自微信公众号“中国物理学会期刊网”。