四色问题证明的历史（二）

雷明85639720

（接上一贴）
四色问题证明的历史（二）
雷  明
（二○二一年十二月十二日）

五、1990年以后中国的业余数学爱好者对四色猜测的研究：
1、雷明独立的对四色问题的研究：
㈠ 对H—图的研究：
1990年雷明先生从《图论的例和反例》一书中看到了赫渥特的H—图，并独立的对它进行了研究。认为赫渥的H—图在移去了一个同色后，便会产生从另一个同色顶点到其对角顶点的连通链，赫渥特第二次交换的正是这一条连通链，所以是空不出两个同色的。并且也看到了H—图中有一条经过了双环交叉链的两个末端顶点的环形链，把与其对应的相反链分隔在了环的内、外两侧。交换环形链内、外两侧的任一条相反链，都可以使双环交叉链断开，使构形转化成可约的K—构形而可约。使H—图的4—着色问题得到解决。所以这就叫断链交换法。
在这同一时期，还有南方的董德周先生也有同样的看法，也用同样的方法给H—图进行了4—着色，（这一消息笔者是从网上看到的）。
雷明先生的研究他本人已在1992年在西安空军工程学院召开的“陕西省数学会第七次代表大会暨学术交流会”上作过学术论文报告（报告的题目是《赫渥特图的4—着色》），得到了与会代表和专家学者的好评。这个时候雷明还不知道有E—图的存在。
㈡ 对E—图的研究：
2010年张彧典先生的《四色问题探秘》一书和2011年敢峰先生的《4CC和1＋1的证明》一书出版以后，雷明先生才看到了E—图，随即也就对E—图的可约性进行了研究。发现E—图中也含有经过了构形的关键顶点的环形链，而且是与H—图经过了不同关键顶点的、相反的环形链，也可以用断链交换法进行解决，使其转化成可约的K—构形。结合张彧典先生和敢峰先生对E—图的研究，雷明先生把H—图和E—图都划归为同一类叫做含有经过了构形的关键顶点的环形链的构形，都用断链交换的方法进行解决。只是二者在进行断链交换时，所用以交换的链是不同的两条相反链，两图只是同一类构形中的两个不同的次一类构形的代表。
若对E—图使用转型交换法，则是以4次转型为一个周期的构形类型的小循环，即由BAB型的构形又转化成BAB型的构形（4是用了4 种颜色，每种颜色都作一次峰点，就是4次转型）；而以20次转形为一个大周期的构形顶点颜色的复原的大循环，即转型20次后，构形各顶点的颜色又反回到转型前的初始颜色，构形又转化成了转型前的最初始状态）。构形一共有5个围栏顶点，每个顶点都作一次BAB型构形的峰点A，一个大循环则就是由这5个小循环所构成的，所以4×5＝20次，这就是大循环的循环周期。以后再继续转型，就开始了无穷周期的大循环了，光用转型交换法永远也是解决不了问题的。
㈢ 对H—构形分类的研究和各类构形的应对办法：
有含有经过了构形的关键顶点的环形链的构形（相应的解决办法上面已经说过），相应的也就有不含有经过了构形的关键顶点的环形链的构形，所以雷明先生就把其他的H—构形都划归为不含有经过了构形的关键顶点的环形链的构形。只能用先移去一个同色的转型交换法进行解决。何为转型交换法？就是因为在BAB型的H—构形中，A—C链和A—D链都不能交换，A—B链和C—D链也都是直链，也不能进行交换，而B—C和B—D链又不能连续的进行交换，也就只能先对一条关于B的链进行交换，先移去一个同色B，使构形由BAB型转化成DCD（或CDC）型，再看转化后的构形是属于那一类的构形，看是否可以解决问题，否则再继续的进行转形。
㈣ 转型交换的最大次数：
由于这里研究的是不含有经过了构形的关键顶点的环形链的构形，与E—图是不相同的。它既不含有经过了构形的关键顶点的主环形链A—B，也不含有不经过构形的关键顶点的副环形链C—D，所以一定是不会产生无穷的周期循环转型的，而只能是有限次的转型。这也是符合“逆否命题与原命题是同真同假的”逻辑关系的。最大的转型次数一定是不会大于无穷周期循环转型的循环周期的，即对角转型最大的转型次数是20次，邻角转型最大的转型次数是15次。但这只是一个理论上的上界值，实际上，着色的实践已经证明，不论是那种转型，这个上界值都是不会大于5次转型的。
现在应该说不同类型的不可避免的H—构形都是可约的了，四色猜测就应该说是正确的了。
㈤ 研究E—图的重大作用：
雷明先生既然已经把H—构形分为含有经过了构形的关键顶点的环形链的构形和不含有经过了构形的关键顶点的环形链的构形两大类型，前者用断链交换法解决问题，后者用转型交换法解决问题。E—图中也有经过了构形的关键顶点的环形链，自然E—图也就属于有经过了构形的关键顶点的环形链的构形一类了，用断链交换的方法就可以解决问题。那么很自然的就可以提出问题：为什么还要研究E—图的转型交换呢？研究E—图构形道底有什么作用呢？
上一节不是已经给出了不含有经过了构形的关键顶点的环形链的构形理论上的最大转型交换次数是20了嘛！前面已经说过了，断开双环交叉链的方法就只有断链和转型两种。如果不研究E—图的转型交换，怎么能知道E—图是一个无穷的周期循环转型的构形呢？又如何能知道E—图无穷循环转型的周期是20次转型呢？没有E—图的无穷周期循环转型的出现，我们又如何能用逻辑推理的办法，确定一切非E—族图的构形一定都是不会出现无穷周期循环转型的构形呢？又如何能知道不含有经过了构形的关键顶点的环形链的构形的有限次的转型的“上界值”是20次或15次转型呢？
㈥ 雷明先生《四色猜测的手工证明》一书的出版：
在以上的研究的基础上，雷明先生将他三十多年来对四色猜测的研究进行了整理，在2018年出版了《四色猜测的手工证明》一书。书中除了以上的按H—构形的不可避免构形的分类法证明外，还有用泰特猜想法的证明，用不可同化道路法的证明，用米歇尔斯基操作法的证明，以及用数学公式推导的、逻辑推理的等多种方法都证明了四色猜测是正确的。
雷明先生还把图的边数与顶点数的关系代入多阶曲面上图的欧拉公式得到一个一元二次不等式，解这个一元二次不等式，其根就是前面我们提到过的赫渥特多阶曲面上的地图着色公式：γ≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞（式中n是图或曲面的亏格，用＜ ＞表示其中的值向下取整）。式中当图（或曲面）的亏格n为0时（平面和球面，以及平面图和球面地图的亏格都是0），其计算的结果——色数γ是小于等于4的，这就是平面图（或球面地图）四色猜测的数学表达式。
该书中对四色猜测用多种办法的解决，说明了任何问题的解决，绝不只是只有一种或几种办法的，而是从不同的角度出发，就有不同的解决方法的。书中用不可同化道路法对四色猜测的证明，雷明先生曾两次在专业的学术会议上作了学术论文报告。其中一次是在1994年在延安大学召开的“陕西省数学会1994年的学术年会”上作的，另一次是在2012年在洛阳师范学院召开的“第五届全国组合数学与图论大会”上作的。
㈦ 雷明先生的破圈着色方法：
如果给某图着色时，只剩了最后一个顶点（或者在着色中途也可能产生这样的顶点）V未着色，但其周围的顶点已占用完了图中已使用过的四种颜色，且与V相邻的围栏顶点数在不大于等于5的简单构形情况下，使用坎泊的颜色交换技术是可以空出颜色给V的。但对于一个具体的、顶点数比较多的图来说，若遇到了这样的顶点，直接确定是属于那一种类型的构形则是比较难的。不能确定属于那一种类型的构形，也就无法有针对性的按不同的方法去使用颜色交换技术了。
在这种情况下，首先一定要坚信该顶点是一定能着上已用过的四种颜色之一的自信心。虽然确定不了是属于那一种类型，但也不要紧。还可以用一种叫做“破圈着色法”的方法将其着上已用过的四种颜色之一。
所谓“破圈法”就是根据平面图中一定都含有至少一个顶点的度是小于等于5的特征，把原构形中围栏顶点占用次数最少的颜色直接给待着色顶点着上，把移去颜色的围栏顶点作为新的待着色顶点，一步一步，一定能把新的待着色顶点移动到度是小于等于5的顶点之上。当围栏顶点占用的颜色数小于等于3时，给新的待着色顶点着上第四种颜色，就完成了该图的4—着色。当围栏顶点所占用的颜色数等于4时，再看构形的类型，用相应的颜色交换技术去进行解决。
2、敢峰构造了他所谓的“终极图”：
㈠ 敢峰先生也是独立的对四色猜测进行研究的。他在1992年的《证明四色定理的新数学——锁阵运筹理论及其运用》和2009年的《四色定理简证——图论中的锁阵运筹》两个论文中都有其用转型演绎法（也即笔者说的转型交换法）构造出来的一个由先生自已叫做“终极图”的构形，并把他的证明叫做“终极证明”。
敢峰先生也看到了“终极图”在进行转型交换时，是一个以20次转型为周期的无穷循环构形，并看到了其所有的转型结果中都含有一条经过了构形的关键顶点的环形链，只要交的了该环形链任一侧的任一条与该条环形链呈相反链的色链，构形就转化成了可约的K—构形了。也用了与雷明先生相同的断链交换法解决了“终极图”的4—着色问题。
敢峰先生的“终极图”及其解决办法，笔者只是在十年以后从先生2011年另出版的《4CC和1＋1的证明——兼论关于宇宙和生命的思索》一书才看到的。
㈡ 终极图在继续转型的过程中，虽然每一次转型所生成的新构形中的双环交叉链都在变化着，但却都是含有同一种含有经过了构形的关键顶点的环形链A—B的构形，而且A—B环形链是在经过了双环交叉链的共同起始顶点和经过了双环交叉链的两个末端顶的两种环形链间交错的进行着。也就是说，由于每个构形的双环交叉链都在不断改变着，所以每隔一个构形都是含有经过了双环交叉链的共同起始顶点的A—B环形链，再每隔一个构形则都是含有经过了双环交叉链的两个末端顶点的A—B环形链。每一个新的构形都可以通过断链交换法进行解决。
但敢峰先生只看到了这一点，而没有看到还有一种不含有经过了构形的关键顶点的环形链的构形也是客观存在的，认为他所构造的图是“终极图”（为什么叫“终极图”，笔者也不明白），他对四色猜测的证明就是“终极证明”，进而又产生了“登顶证明”的概念（敢峰先生2021年新出版的书的名称就叫《四色定理登顶证明》）等。
可以说含有经过了构形的关键顶点的环形链的构形，用断链交换法都是可以解决的。但若遇到了不含有经过了构形的关键顶点的环形链的H—构形时，按照敢峰先生的理论，该用什么办法去解决呢？敢峰先生的研究却是没有这方面的内容的。所以说，敢峰先生的证明还缺少（或者说遗漏了）对17个顶点以下的构形（如雷明先生已用与敢峰先生同样的方法，构造出了不含有经过了构形的关键顶点的环形链的“九点形”构形，见雷先生的《构造一个有限次演绎可以4—着色的图》一文）和所有不含有经过了构形的关键顶点的环形链的构形的证明。
㈢ 敢峰先生并不认为他遗漏了不含有经过了构形的关键顶点的环形链的构形，而是说这类构形是在他构图的过程都已经所扬弃了，解决了。什么是扬弃了，也没有看到先生的说明；怎么解决的，也没有看到先生的解决办法。怎么能说是扬弃了、解决了呢？终极图是一个极大的平面图H—构形，而构图过程中的各构形均是不同的非极大平面图的可约的K—构形；这里所说的不含有经过了构形的关键顶点的环形链的构形，也正是极大平面图的H—构形；构图过程中的各图或构形与这里说的极大平面图的H—构形，根本就不是同一类型的构形，怎么能说是在构图的过程中都已经扬弃了和解决了呢？
㈣ 敢峰先生的《4CC和1＋1的证明》一书2011年出版后，笔者才看到了“终极图”，并认为该图与埃雷拉的E—图是一模一样的，应是同一个图。但先生硬说不是同一个图，而是“形同质异”的两个图。原因就是因为他的“终极图”有来历，而埃雷拉的E—图不知道是如何得来的。E—图是如何得来的？这可真的不好回答。因为埃雷拉可能早就不在人世了，谁能知道他是怎么构造出来E—图的呢？
从两个图的“祼图”（未着色前的图）的对比上看，顶点数相同，边数也相同，都是各面都是三边形的极大平面图，各相应顶点的相邻关系也是完全相同的；从已部分4—着色的构形上看，各相应顶点的着色也都是相同的，也有相同的特征链；从构形的归类上看，都是属于有双环交叉链的H—构形，都有经过了构形的相同关键顶点的主环形链A—B，也都有不经过构形的关键顶点的副环形链C—D；从解决的办法上看，若用转型交换法都会产生无穷的周期循环而不可约，而都只能用断链交换的方法进行解决。
这样明显的从各个角度看都是一一对应的两个图，为什么就说不是同一个图呢？说E—图没有来历吧，也可能是不现实的。张彧典先生已经仿照敢峰先生的构图方法，分别用四环演绎（对角演绎）和三环演绎（邻角演绎）两种方法，都得到了E—图，这还能说E—图没有来历吗？不仅如此，雷明先生也用四环演绎和三环演绎的方法，也都分别构造出了只能用有限次转型可以解决4—着色问题的不含有经过了构形的关键顶点的环形链的“九点形”的“终极图”。用同一种方法可以构造出不同的图，而用相同的方法也可以构造出不同的图。单就从这一点上看，证明四色猜测与证明时所用的构形或图的来历（或是如何构造出来的）都是没有任何关系的。只要是同一个构形或图，解决的办法也都一定是相同的。
3、张彧典独立的对四色猜测的研究：
㈠ 张彧典先生2010年出版的《四色问题探秘》一书中说“我们已经构造出一个难点转化七次的可约构形（可见山西教育学院学报《教学与管理》1994年第二期发表的《四色猜想的归纳法证明》）。后来，我们把它最简化并归纳为可约构形不可避免集中的第八个构形。”这里所说的“难点转化七次”就是说他构造出的那个构形，转型交换了7次之后，就是一个可以连续的移去两个同色的可约的K—构形。张先生的这八个构形中，从第四构形到第八构形都是不含有经过了构形的关键顶点的环形链的构形，先生也都是用转型交换法解决的，且一个比一个多一次转型交换。
㈡ 笔者同样也是在《四色问题探秘》一书中看到，张先生说他在1999年收到从英国寄来的米勒等人1990年所写的、1992年才发表出来的《应该知道的赫伍德范例》（或《理应已知的赫伍德范例》）一文后，对该文中的E—图继续的进行了研究。并在2003年发现E—图是与其八大构形中的第二个有经过了构形的关键顶点的环形链C—D的构形对应的另一种含有A—B环形链的组合形式，于是便把E—图归入了八大构形之后，构成了一个由九个构形构成的不可避免构形集。张先生也与敢峰先生一样，也发现了E—图的各个转型结果中都含有经过了构形的关键顶点的环形链A—B的这一特征，虽然不能用转型交换法（张先生称转型交换法为H—换色程序）解决问题，但同样可以用断链交换法解决问题（张先生称断链交换法为Z—换色程序）。
㈢ 但张先生的构形集中的分类是没有按一定的规律，而只是按其转型交换的次数递增的方法进行的。但也并不全是，因为前八个构形的转形次数是由0递增到7的，而第九个构形的转型次数一下子却增大到了无穷大。而且分类中只有第二构形和第九构形是H—构形，其他的构形则均是可约的K—构形，都是可以连续的移去两个同色B的。也不符合这里要进行分类的对象主要指的都是H—构形。所以，这种分类方法是不符合构形的分类原则的。按张先生的分类，若在着色时遇到了一个待着色顶点，是不能直接的看出该构形是属于那一类构形的。还需要通过连续的转型，给待着色顶点空出了颜色之后，才能知道其是那一类。但在这个时候才知道了是属于那一类型又有什么用呢？不为时过晚了吗？所以说用这种分类方法得到的这个不可避免构形集是没有实际意义的。
㈣ 后来，也就是在张先生的《四色问题探秘》一书2010年出版后的这些年，他看到E—族构形（包括E—图转型后的产物构形和增加了4—色构件的E—图都在内）在进行H—换色程序时都是无穷周期循环的这一现象，再根据逆否命题与原命题同真同假的逻辑关系，认为“不会使H—换色程序产生无穷周期循环的所有构形一定都是非E—族构形”。这个观点是成立的，正确的。所以他又把H—构形直接分为十折对称的E—族构形和非十折对称的非E—族构形。E—族构形用Z—换色程序解决，非E—族构形用H—换色程序解决。这也就证明了不同类型的构形都是可约的，四色猜测也就是正确的了。
㈤ 张先生认为不需要证明有限次的H—换色程序的最大转型次数就可以了，笔者却有不同的看法。笔者认为“有限次”一定要有一个“上界值”。没有“上界值”的“有限”仍等于是“无限”的。没有这个“上界值”，还是不能说明四色问题就得到了解决。因为没有“上界值”就还不能说明任何不含经过了构形的关键顶点的环形链的构形都一定是可约的，因为看不到道底需要进行多少次H—换色转型。至少是没有让大家“放心”的。但只要是有了这个“上界值”，就等于给大家吃了一颗“定心丸”，让大家是能够看到H—换色转形的次数真正是“有限的”。
㈥ 关于两种类型的构形的名称问题，笔者也与张先生有不同的看法。为了证明，把构形叫什么都是可以的，用编号也并非不可以。但分类不光是为了证明的需要，也是为了着色的需要。遇到什么样的构形，采用什么样的相应的对策去解决。这是不言而喻的。但连所遇到的构形是什么样的构形也不知道，何谈采取相应的对策呢？而张先生的“E—族构形”或“十折对称”的判断标准是什么呢？完全不清楚。无法判断，也就无法采取相应的对策了。这样的分类仍是不切实际的，需要把构型的名称与其中相应的特征链联系起来。只有这样才能一看到构形，就能明白是什么样的构形，就知道应该采取什么样的相应的对策。
希望张先生能够接受这一建议，或者注明如何去判断十折对称的E—族构形。
4、        韩文镇独立的对四色猜测的研究：
上面在雷明先生对四色猜测的研究中，已谈到了用泰特猜想证明四色猜测的问题。近年来，朋友韩文镇在这方面也有研究，笔者也很赞成用这种方法，在这里也顺便的介绍一下。
韩文镇首先对某些平面三次图（地图，也就是3—正则平面图）进行了可3—边着色，那么其对偶图（极大平面图）的所有三边形面也一定都是由3条3种颜色的边所围成。从极大图中可以发现，图中的任何一条道路都是“同一色线” ，即同一道路上的边都是相同的颜色。共有三种颜色的同一色线，每一种同一色线的条数至少有两条以上。如果某一条同一色线中存在着圈，则圈内一定还含有另外一条与其不相连同一色线。两条同一颜色的同一色线间，一定是被另外两种颜色的边隔离着。
同时也还发现，只要把任何一种色线的任何一条同一色线上的各个顶点用A和B相间的标注，然后再把与其相隔的另外一条同一色线上的各个顶点用C和D标注时，即可正好把极大图中的所有顶点标注完毕，每两个相邻的顶点都是不相同的颜色，也就相当于完成了对极大图的顶点4—着色。由于极大图中的顶点就是平面三次图（地图，也即3—正则的平面图）中的面，所以也就相当于完成了对3—正则平面图的面的4—着色（见韩文镇2019年的论文《泰特猜想的延续——四色定理的书面证明》）。这就证明了泰特猜想是正确的。
韩文镇在其论文的后面也有对任何3—正则的平面图都一定是可3—边着色的证明。但他证明时用的是一个已知的、有n个面的、可3—边着色的、具体的3—正则平面图。采用归纳法证明时，在其中某个面的两条边上各增加一个顶点和一条边后，便得到一个有n＋1个面的、仍是一个可3—边着色的3—正则平面图。笔者认为这种证明方法是没有一般的代表性的。笔者已改成了用一个非具体的、有n个面的、可3—边着色的、部分的3—正则平面图，在其中某个面的两条边上各增加一个顶点和一条边后，图仍是一个非具体的、但有n＋1个面的、可3—边着色的、部分的3—正则平面图。这也就证明了四色猜测是正的。现在正在与韩文镇先生进行交换意见之中。
5、刘千栋独立的对四色猜测研究：
上面在雷明先生对四色猜测的研究中，也已经谈到了“破圈着色法”的问题。在这个基础上，刘千栋先生于2020年提出了用待着色顶点移动对平面图进行着色的方法和对四色猜测进行证明的方法。什么是待着色顶点移动呢？即是破圈着色法中的每一步破圈，就是待着色顶点的一次移动。也是根据平面图中一定都含有至少一个顶点的度是小于等于5的特征，也一定能把待着色顶点移动到这些顶点之上的原理的。
在新的待着色顶点的围栏顶点所占用的颜色数小于等于3时，新的待着色顶点是一定可以着上图中已用过的4种颜色之一的。但若在图中的所有顶点都是4—度或5—度时，能否还能把新的待着色顶点移动到围栏顶点所占用的颜色数是小于等于3的顶点之上，还是一个未知数。但刘千栋先生坚信是一定能够把新的待着色顶点移动到围栏顶点所占用的颜色数是小于等于3的顶点之上的，并且认为这也是一种对四色猜测进行证明的好方法。
但却一直还没有看到刘先生所给出的证明的方法。笔者认为，如果刘千栋先生能给出证明八面体（所有顶点都是4度的构形）和二十面体（所有顶点都是5度的构形）的新待着色顶点一定能移动到围栏顶点所占用的颜色数一定是小于等于3的顶点之上，这种等着色顶点移动法，也应该是一种好的对四色猜测的证明方法。
六、其他的研究：
1998年：
美国的琼·哈钦森（Joan Hutchinson）和斯坦·瓦贡（或马车）（Stan Wagon）在1998年的论文《肯普再研究》虽然主要是研究E—图的4—着色的，但其中除了进一步明确了E—图是在1921年由埃雷拉构造的外，在对E—图的4—着色方面，讲得反倒不如欧文1935年在其论文《对已部分染色地图一组操作》的原论文中讲得明白，更不如我们现在说得那么明白了。
2003年：
加拿大的哈米斯·卡尔（Hamish Carr）和威廉·科凯（William Kocay）在其2003年的论文《一种试探式的平面图四染色》中用计算机构造了一种叫做CK0—图，该CK0图与埃雷拉的E—图和米勒的M—图，以及敢峰先生的终其图，也都是同样的一个图。
该论文的主要观点是认为CK0—图的转型产物以及在CK0—图中增加了四色构件的构形都是一个CK—图族；CK—图族是可以使转型交换法（即文中所说的算法2.1）产生无穷周期循环的，周期也是20次转型；并认为其逆否命题“不使算法2.1产生无穷周期循环的构形一定不是CK—图族群的构形”也是成立的；同时也看到了CK—图族群的构形中也都含有经过了构形的关键顶点的环形链，用断链交换法是可以使图中的双环交叉链断开的，从而转化成一个可约的K—构形。
作者还看到了坎泊的证明中产生“漏洞”的原因是他在移去了一个同色B之后，在进行第二步交换时，实际上是交换了一条连通链，不可能再移去第二个同色B了。文章中所说的算法2.1，也就是我们所说的转型交换法。作者的这些认识都与雷明先生和张彧典先生的认识完全是相同的。但科凯他们却不自信，不认为自已也已经证明了四色猜测是正确的。而把论文的题目叫做《一种试探式的平面图四染色》，说明们还是处在进行探索之中。

到此，笔者认为我国的业余数学爱好者雷明，张彧典，敢峰三位老先生都已用手工对四色猜测进行了证明，结论都是四色猜测是正确的。只是敢峰先生的证明还缺少了对无经过了构形的关键顶点的环形链的构形的解决办法，仍是一点不足之处。

雷  明
二○二一年十二月十二日于长安

（全文完）

注：此文同日也在《中国博士网》上发表过。网址是：