智力游戏赛题之妙解

yangchuanju

费尔马1 发表于 2022-2-24 19:34
杨老师艺高胆大，攻关的干劲十足，您的这种对知识的执着精神值得我们学习！

请问程老师：
18楼的方程1627A^2671+6217B^6271=2617C^8013如何解？8013=3*2671
21楼的方程8A^3+9B^5+5C^9=10D^7+6E^11如何解？

yangchuanju

18楼楼主给出一题：
1627A^2671+6217B^6271=2617C^8013
经分析ABC的3个系数和3个指数中有5个素数，唯C指8013=3*2671；
该类型不定方程我还不会解，试将C的指数改成3，便可解了。
解出ABC后再将C换成C^2671，行不行？
应该不行的，因求出的通解C一般不能开2671次方。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2022-2-24 20:28
请问程老师：
18楼的方程1627A^2671+6217B^6271=2617C^8013如何解？8013=3*2671
21楼的方程8A^3+9B^5+5 ...

18楼的方程1627A^2671+6217B^6271=2617C^8013如何解？8013=3*2671
21楼的方程8A^3+9B^5+5C^9=10D^7+6E^11如何解？
学生回答:
18楼的方程1627A^2671+6217B^6271=2617C^8013
移项，等价变形:
2617C^8013－1627A^2671=6217B^6271
然后采用鲁氏解法，取解的底数为2617－1627=990
………………………………………………
21楼的方程8A^3+9B^5+5C^9=10D^7+6E^11
移项，等价变形为，
8A^3+9B^5+5C^9－10D^7=6E^11
或8A^3+9B^5+5C^9－6E^11=10D^7
或其它变形都可以。
必须使等号右边一个项，且此项的指数与其它指数都互质。
然后，再采用鲁氏解法或其他解法即可。

yangchuanju

费尔马1 发表于 2022-2-24 20:56
18楼的方程1627A^2671+6217B^6271=2617C^8013如何解？8013=3*2671
21楼的方程8A^3+9B^5+5C^9=10D^7+6E^1 ...

18楼的方程1627A^2671+6217B^6271=2617C^8013
移项，等价变形:
2617C^8013－1627A^2671=6217B^6271
然后采用鲁氏解法，取解的底数为2617－1627=990

设方程解的形式是
C=6271^(E1*t+F1)*990^(G1*k+H1)
A=6271^(E2*t+F2)*990^(G2*k+H2)
B=6271^(E3*t+F3)*990^(G3*k+H3)

用A指*B指的积求乘数972和5299解之
C=6271^(16749841*t+2596212)*990^(16749841*k+14153629)
A=6271^(50249523*t+7788636)*990^(50249523*k+42460887)
B=6271^(21402723*t+3317405)*990^(21402723*k+18085318)
检验正确，略。
式中t、k是0或正整数。

yangchuanju

疑惑：t、k好似不能取不同的数值！
令t=0，k=1
C=6271^(2596212)*990^(30903470)
A=6271^(7788636)*990^(92710410)
B=6271^(3317405)*990^(39488041)

2617C^8013－1627A^2671=6217B^6271
C^8013=6271^(20803446756)*990^(247629505110)
A^2671=6271^(20803446756)*990^(247629505110)
B^6271=6271^(20803446755)*990^(247629505111)

2617C^8013－1627A^2671=(2617-1627)*6271^(20803446756)*990^(247629505110)=6271^(20803446756)*990^(247629505111)
6217B^6271=6217*6271^(20803446755)*990^(247629505111)=6271^(20803446756)*990^(247629505111)
两式相等，t、k可以取不同的整数值。

yangchuanju

费尔马1 发表于 2022-2-24 20:56
18楼的方程1627A^2671+6217B^6271=2617C^8013如何解？8013=3*2671
21楼的方程8A^3+9B^5+5C^9=10D^7+6E^1 ...

21楼的方程8A^3+9B^5+5C^9=10D^7+6E^11
移项，等价变形为，
8A^3+9B^5+5C^9－10D^7=6E^11
或8A^3+9B^5+5C^9－6E^11=10D^7
或其它变形都可以。
必须使等号右边一个项，且此项的指数与其它指数都互质。

设方程8A^3+9B^5+5C^9－10D^7=6E^11解的形式是
A=6^(F1*t+G1)*12^(H1*k+I1)
B=6^(F2*t+G2)*12^(H2*k+I2)
C=6^(F3*t+G3)*12^(H3*k+I3)
D=6^(F4*t+G4)*12^(H4*k+I4)
E=6^(F5*t+G5)*12^(H5*k+I5)

试差求(ABCD指积*n±1)/E指之整数n分别等于10和1，
令FGHI分别等于
F        G        H        I
BCDE指积        BCD指积*10        BCDE指积        BCD指积*1
ACDE指积        ACD指积*10        ACDE指积        ACD指积*1
ABDE指积        ABD指积*10        ABDE指积        ABD指积*1
ABCE指积        ABC指积*10        ABCE指积        ABC指积*1
ABCD指积        (ABCD指积*10-1)/E指        ABCD指积        (ABCD指积*1+1)/E指
得                       
3465        3150        3465        315
2079        1890        2079        189
1155        1050        1155        105
1485        1350        1485        135
945        859        945        86
带入ABCDE各式得
A=6^(3465*t+3150)*12^(3465*k+315)
B=6^(2079*t+1890)*12^(2079*k+189)
C=6^(1155*t+1050)*12^(1155*k+105)
D=6^(1485*t+1350)*12^(1485*k+135)
E=6^(945*t+859)*12^(945*k+86)

8A^3+9B^5+5C^9－10D^7=6E^11
A^3=6^(10395*t+9450)*12^(10395*k+945)
B^5=6^(10395*t+9450)*12^(10395*k+945)
C^9=6^(10395*t+9450)*12^(10395*k+945)
D^7=6^(10395*t+9450)*12^(10395*k+945)
E^11=6^(10395*t+9449)*12^(10395*k+946)

8A^3+9B^5+5C^9－10D^7=(8+9+5-10)*6^(10395*t+9450)*12^(10395*k+945)=6^(10395*t+9450)*12^(10395*k+946)
6E^11=6*6^(10395*t+9449)*12^(10395*k+946)=6^(10395*t+9450)*12^(10395*k+946)
两式相等，t、k可以取不同的整数值。
检验正确。

yangchuanju

丢番图不定方程两种解法的区别与统一（1）：
2357A^7253+2753B^7523=3257C^5273的通解是：
A=2357^15160879*2753^13968177*3257^10539723*a*b*[(a^7253+b^7253) /2]^18589333*[(a^7253－b^7253 ) /2]^11732425
B=2357^14616756*2753^13466860*3257^10161453*[(a^7253+b^7253) /2]^17922163*[(a^7253－b^7253 ) /2]^11311349
C=2357^20853756*2753^19213197*3257^14497366*[(a^7253+b^7253) /2]^25569587*[(a^7253－b^7253 ) /2]^16137925
另一通解是：
A=3257^（39668779t+10539723）*5110^（39668779k+29129056）
B=3257^（38245069t+10161453）*5110^（38245069k+28083616）
C=3257^（54564319t+14497366）*5110^（54564319k+40066953）

2357指        2753指        二指和        5110指        二指和/5110指
15160879        13968177        29129056        29129056        1
14616756        13466860        28083616        28083616        1
20853756        19213197        40066953        40066953        1

yangchuanju

丢番图不定方程两种解法的区别与统一（2）：
1627A^2671+6217B^6271=2617C^7621的通解是：
A=1627^24262445*6217^36321686*2617^34998451*a*b*[(a^2671+b^2671) /2]^25585680*[(a^2671－b^2671 ) /2]^22939210
B=1627^10334076*6217^15470455*2617^14906851*[(a^2671+b^2671) /2]^10897680*[(a^2671－b^2671 ) /2]^9770472
C=1627^8503476*6217^12729986*2617^12266220*[(a^2671+b^2671) /2]^8967242*[(a^2671－b^2671 ) /2]^8039710
另一通解：
A=2617^(47791291*t+34998451)*7844^(47791291*k+12792840)
B=2617^(20355691*t+14906851)*7844^(20355691*k+5448840)
C=2617^(16749841*t+12266220)*7844^(16749841*k+4483621)

1627指        6217指        二指和        7844指        二指和/7844指
24262445        36321686        60584131        12792840        4.735784314
10334076        15470455        25804531        5448840        4.735784314
8503476        12729986        21233462        4483621        4.735784314

费尔马1

yangchuanju 发表于 2022-2-25 10:11
丢番图不定方程两种解法的区别与统一（2）：
1627A^2671+6217B^6271=2617C^7621的通解是：
A=1627^242624 ...

杨老师技艺惊人，智慧超群，您的以上成果正确！祝贺杨老师在解决丢番图方程方面取得了辉煌的成就！再次感谢老师的参与。

lusishun

都累了，就得慢慢的玩，急了伤人啊！