博洽内容，独特风格——介绍克莱因：《高观点下的初等数学》

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博洽内容，独特风格——介绍克莱因：《高观点下的初等数学》

作者 | 吴大任

来源 | 《数学通报》，1989 年 6 期



(一)书和作者简介

德国数学家 F.克莱因的名著《高观点下的初等数学①》(以下简称《初等数学》)已由舒湘芹等同志译就，将由湖北教育出版社出版。中译本出版，必将受到我国中青年教师和广大数学工作者的欢迎，对我国各级学校的数学教育也将产生巨大作用。

F.克莱因(1849-1925)是有深远影响的数学家。他的贡献遍及几何、代数、函数论、理论物理以及数学史等，在这些领域，他都留下了经典性著作，他是权威性的德国数学百科全书的主要创始人之一，曾任最高水平的德国数学年刊的主编，致力于这两项事业长达四十春秋，他热诚地献身于数学教育及其改革，是促进数学教育国际委员会创始人之一，并始终积极参与其中的活动。他著述《初等数学》这样的书，真可谓出色当行，游刃有余，得心应手。这书内容十分博洽，而论述生动活泼，不拘一格，把严谨性和直观性巧妙结合，深入浅出，使读者有举重若轻，左右逢源之感。

《初等数学》是克莱因的助手们根据他在葛廷根大学讲课内容整理而成的，分上下两卷。上卷“算术，代数，分析”(第三版)于 1924 年出版；下卷“几何”于 1925 年出版；英译本于 1939 年出版，六十多年过去，数学面貌已有很大变化，我国目前的数学教育和德国当年也有很大差异，我们阅读这书时，对此必须注意，尽管如此，我们读来，对其内容和观点，仍然感到十分亲切。这是因为，其内容主要是基础数学，其观点蕴含着真理，当时德国数学教育中的不少问题，在今日我国仍然存在，克莱因声称，书是为中学教师和成熟的大学生写的，但按其内容，所有对数学有一定了解的人都可以从中获得教益或启发。

数学科学的整体性和数学教育的连续性

要想用一两句话来概括《初等数学》这本丰富多彩的书的特色，是困难的。也许可以说：它所展示的数学科学，是一个不断发展着的有机整体；克莱因所设计的数学教育，是一个随着数学发展而不断更新的连续过程。正如书名《高观点下的初等数学》所示，书的着眼点是初等数学，观点却是高等数学，数学各个分支，特别是数学两个基本对象——形与数结合起来了，讲算术、代数、分析时，总是充分运用丰富的几何图像，而讲几何时，用的是代数工具，又不乏几何语言，它还以大量篇幅阐述数学的各种概念和方法的发展与完善过程以及数学教育演化的经过，这些进程还在继续。

以下对《初等数学》的若干具体特色作些介绍。

(二)《初等数学》若干特色

高观点

在《初等数学》的前言中，克莱因指出大学和中学数学教育的“双脱节”现象：大学生感到，他正在学的东西和中学学过的无关，而当他们到中学任教时，大学所学的用不上，因而那些内容就只存在于美好的记忆中。本书的直接目的自然是要改变这种不合理现象，以便把数学的新进展中所产生的新观念渗入中学数学教育中，按我们现在的说法，就是使数学教育“现代化”。

克莱因所采用的书名表明，他认为教师应具备较高的数学观点。理由是，观点越高，事物越显得简单，例如在实数域里不好理解的某些东西，从复数域的观点看，就清楚了；在欧氏空间里某些不好解释的现象，从射影空间的观点看，就有满意的说明，下面分别举两个具体的例。

克莱因指出，在中学，关于对数的传统讲法是有明显漏洞的。他建议把对数函数作为等角双曲线下的面积来引进，既简单又明确。他又指出，在复数域里，对数是多值函数，作为实函数的对数只是其中无数多个值之一。所以，在复数域里，对数函数的本质才看得清楚，我们的教师，无论是否愿意(或可能)采纳克莱因所建议的引进对数方式，有一点是肯定的：如果他了解作为复数的对数函数，当他讲实数时，就会心中有效，有可能弥补漏洞，至少当学生提出疑问时，他能正确回答，应付自如。

通过变换群来阐明不同几何的本质及其相互关系，本是克莱因伟大创见之一。《初等数学》曾用了很大篇幅来论述欧氏几何、仿射几何和射影几何的关系。我认为，中学几何是欧氏几何，但也涉及图形的仿射性质(如三角形的重心)和射影性质(如三点共线)。如果教师能区别各种性质，在教学中自然是有利的。克莱因举了一个例来说局限在欧氏空间就不好理解的现象：两个二阶曲面一般相交于一条四阶曲线，但两个球面(二阶曲面)一般只相交于一个(实的或虚的)圆(二阶曲线)。原来，从射影空间观点看，可以认为，两个球面还相交于“无穷远虚圆”，而两个圆在一起，恰好构成一条(退化的)四阶曲线。

教师应是多面手

克莱因对教师的要求是很高的。《初等数学》涉及的面很广，除正文四大部分外，还有两个附录：“关于 e 和 π 的超越性证明”②和“集合论”，每一大部分的写法和通常写法很不相同，且其内容有不少超出通常写法的习惯范围。例如在“算术”部分写了四元数；在几何部分写了高维(以至无穷维)空间，并且随时讲到历史和应用。显然，克莱因认为，教师对这些都应当掌握或了解。他认为，大学生学到的具体东西不少，而许多重要的，以及在中学任教中用得着的东西却往往被忽视了。《初等数学》就着眼于弥补这些缺憾，揭示数学各部分之间的联系，指出它们的共性，它们产生与成长的内因、外因和过程以及它们的应用等等，克莱因认为，教师掌握的知识要比他所教的多得多，才能引导学生绕过悬岩，渡过险滩，他喜欢用“溶合”这个词。《初等数学》也确实体现了初等数学同高等数学的溶合，数学各部分的溶合，几何观念和算术观念③的溶合，感性与理性的溶合(甚至一维、二·维、三维空间的溶合)等等，可以认为，全书是以上各种溶合的溶合。强调这一切，是为了使大学生和教师对数学有较全面的观点，有较高的修养。

数学发展的历史

克莱因反复强调的一个教育原则是按照学生的认识规律(包括年龄及成熟程度)进行教学。具体地说，要由简单到复杂，由低到高，由感性到理性等，他讲数学历史，是因为，他认为学生对数学的认识，在某个意义上，是人类对数学认识的历史过程相应的。当然，这绝不是说，学生的认识要重复历史上人类的认识。

在讲述数学的历史时，克莱因强调对事物认识深化的必然性(这不排除偶然性)。某些新概念的出现，是由于客观条件已经成熟而非产生不可，例如他指出，负数和复数的出现，是不以数学家的意志为转移的。非欧几何产生后，许多数学家是被迫承认它的，微积分由粗糙到严格，有着艰辛的历程。函数概念和几何对象范畴等的演化，都有过漫长的过程。我以为，了解一些历史是很有意义的；我们的课程往往分别构成首尾完整的逻辑体系，学生在学习中很难充分领会到数学是如何逐步成长起来，它又将如何继续发展。

公理体系

《初等数学》多处谈到公理体系，特别是关于数的公理和几何公理，克莱因认为，公理不能脱离直觉，不能排除人对客观事物的认识。因而反对那样一种观点：认为公理可以随心所欲地选取，只要它们彼此相容，即不产生矛盾就可以了，他还认为，不能按照公理体系进行教学。因为这首先不符合学生的认识规律，逻辑不是数学教学中的唯一指导思想。此外，他还有一个更深刻的理由，他把数学比作一棵树，公理比作树的根，当树逐渐长大时，躯杆和枝叶向上。长，同时根也向下长。因此既没有最后的终点，也没有最初的始点、即没有进行教学的绝对基础，至于教师，之所以要了解公理对数学的作用和意义，则是和他对教师的要求一致的；公理体系在数学作为一个演绎的逻辑结构中，毕竟占有极其重要地位，不了解它就不能了解数学的本质和全貌，而在教学中，教师固然要考虑大多数学生的兴趣和接受能力，同时他又应能满足一些才华出众的学生的求知欲望，适当地回答他们可能提出的问题。

尺规作图和费尔马大定理

这两个问题在《初等数学》中并不占重要位置，但克莱因对它们的几句精辟议论，却可以用来作为对我们许多青少年学生和业余数学爱好者的忠告。《初等数学》较详细地讨论了用圆规和直尺作图问题。在谈到三等分角问题④时，克莱因指出：许多人拿出自己的“解法”，希望别人指出错误所在，但他们的知识基本上限于初等几何，又不肯去了解利用算术方法早已作出的不可能性证明，为了使读者对这种算术证明有所了解，以便当他们接到送来的“解法”时，能站稳脚跟，他给出了用直尺和圆规不可能作正七边形的证明。

费尔马大定理最近几年才有了重大突破，但尚未最后解决。《初等数学》对这个“定理”的涵义有个十分有趣的图解，对它的历史和直到克莱因时代的研究状况有简明的介绍。克莱因指出，自从 1907 年人们获悉解答这问题(即证明或否定费尔马大定理)的人会得到高额奖金后，就出现了大量的“证明”。这些人属于各行各业，但他们有一个共同点：完全不了解探索这个问题所遇到的严重数学困难，也不想去了解困难所在，只妄想靠突发的灵感就一下子加以解决。他们的结果当然是毫无意义的。

(三)对我们的启发

以上对《初等数学》的管窥蠡测，不求全面，但求无大错，可告无罪于该书作者和本文读者，下面结合我国现状，谈几点个人浅见，请高明指教。

1）中学数学教师的提高方向

许多统计数字表明，我国中小学教师中有很大百分比没有达到教育领导部门所规定的最低业务标准。这里不谈这些现象存在的根本原因(如教育投资长期太少，教师待遇过低)，只谈教师提高的方向。我以为，拓广教师的知识领域，提高他们的教学修养，是当务之急，为此，一个非常重要的策略是，必须把教师从“题海”中解脱出来，不少教师抱怨，经常要花大量时间和精力去收集习题，把解题方法分类，编写习题解答等等，根本顾不上进修，而不那样做，四面八方又不谅解。教师这种苦衷，了解的人恐怕不多，事实上，“题海战术”对广大学生也是利少弊多，用各种方式帮助现有中小学教师提高，高等学校有责任，也有余力。在中小学教师大半已达到规定标准后，这个标准还应有所提高。

2)初等数学教育现代化问题

若干年前，许多国家进行过数学教育现代化的研究和试验。现在谈论它的人似乎少些了。我以为，问题不在于要不要现代化，而在于如何现代化，有一条原则是必须坚持的，即要按学生的认识规律进行教学，用现代数学知识武装中学教师，是初等数学教育现代化的前提。

3)大学数学系的任务

师范院校要面向中学的原则已经定下来了，“向综合大学看齐”的倾向也已经改过来。其实，我以为，师范院校只要注意保持“师范”特色，综合大学数学系的课，师范院校也可以开设，我说的是“可以”，不是“全部必须”。因为中学教师掌握这些课的内容有好处，至于综合大学数学系毕业生也可以(甚至必须)有一定比例到中学任教，那种认为综合大学毕业生到中学教书是“大材小用”的说法，是站不住脚的。为什么大学生和研究生报名当旅馆服务员就不算“大材小用”？在许多国家，师范院校以外的大学毕业生还要通过教育课程的考试才能取得中学教师的资格呢，可见问题的根本在于教师的待遇。

4)大学数学教育的改革

大学数学教育也大有改革余地。例如必修课分量偏重，“上层建筑”要求偏高，基础不全不牢等等，都不利于人才的健康成长；在大量招收研究生后更是如此，在这里，我只着重谈谈几何形象问题。许多数学大师都强调形与数的统一。希尔伯特说过：“算术记号是写下来的图形，几何图形是画下来的公式”。克莱因认为：几何基础可能要以算术为起点，却不能脱离几何直观，而且他讲算术问题时，总要结合几何图像。他们的观点是完全一致的，问题是，在我们的高等数学教育中，几何形象被严重忽视了，作为基础课的解析几何已不能保持最低限度的分量。许多代数和分析课强调自我演绎体系，从逻辑和审美观点看很好，缺点是形与数固有的内在联系割断了，纯几何的演绎体系似乎已逐渐成为历史，为几何、算术、代数所取代，但也不能因此而抛弃几何直觉。另一个问题是，我们很少对学生介绍数学发展的历史。在这两方面，我认为综合大学有不少地方可以向师范院校学习。我们并不需要在综合大学数学专业恢复五十年代作为必修课的几何基础和数学史，但可以通过改革教学内容和方法来达到加强几何形象的目的。当然，这涉及教师的培养与提高问题。

5)关于数学的“热门课题”

在我国青少年学生和业余数学爱好者中，“几何三大问题”(主要是三等分角问题)和费尔马大定理(以及哥德巴赫问题)都是(或曾经是)“热门课题”，但他们“研究”的质量似乎比克莱因时代的德国还低，其实前者已证明为不可能，后者即使在数学界也只是“热门话题”而不是“热门课题”，它们在我国某些人中之所以成为“热门”，部分原因是他们片面理解“解放思想”，更重要的是我们宣传教育不够，我们希望教师们能做这些人的工作。对于执着要搞这两类问题的人，在肯定其精神可嘉之余，要教育他们尊重科学，实事求是，适当地向他们“泼冷水”；鼓励学生打好基础，鼓励业余数学爱好者把精力和时间用于更能发挥自己专长的地方。

6)一点希望

希望我国有众多人像克莱因那样关心数学教师的培养与提高，关心数学教育改革，并为此做些实事。《初等数学》中译版的现实意义就在于，它将促进这两方面工作的进程。但是德文本出版已过了六十四年，英译本出版也过了五十年，现代数学已发生了极大变化，新成果、新概念、新观点、新学科层出不穷，我们热切希望我国高水平的数学多面手会写出更结合我国实际的、现代化的《高观点下的初等数学》。这样一本书出版，将是我国数学教育史上一件大事。

①“初等数学”指当时德国中小学的数学，比我国中小学数学略高。
② e 是自然数的底，π 是圆周率。
③在这里以及许多其它地方，“算术”是广义的，用来表示纯几何的对立面，包括代数和分析。
④即只用直尺和圆规把一个任意给定的角分为三等分的问题，这所谓“几何三大问题”之一，另外两个问题是“化圆为方”和“倍立方”。它们是古老的课题，但早已证明都是不可能的，化圆为方问题同圆周率的超越性有关，其他两问题之不可能是用算术方法证明的。



《高观点下的初等数学》（全三卷）
作者：[德]F·克莱因（Felix Kline）
出版社：华东师范大学出版社
出版时间：2020-11

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在我国青少年学生和业余数学爱好者中，“几何三大问题”(主要是三等分角问题)和费尔马大定理(以及哥德巴赫问题)都是(或曾经是)“热门课题”，但他们“研究”的质量似乎比克莱因时代的德国还低，其实前者已证明为不可能，后者即使在数学界也只是“热门话题”而不是“热门课题”，它们在我国某些人中之所以成为“热门”，部分原因是他们片面理解“解放思想”，更重要的是我们宣传教育不够，我们希望教师们能做这些人的工作。对于执着要搞这两类问题的人，在肯定其精神可嘉之余，要教育他们尊重科学，实事求是，适当地向他们“泼冷水”；