已知 a(n)=n^(1／n)-(-1)^n／n ，n=1,2,…。问：{a(n)} 有没有最大值？有没有最小值？

xfhaoym

elim

答案是 A.
由\(\displaystyle\,\lim_{n\to\infty}a_n=1,\;\)知\(\;\{a_n\}\)收敛从而有界，所以它有上下确界.
不难证明 \(\max\{a_n\}=2=a_1,\;\min\{a_n\}=\sqrt{2}-0.5=a_2\)

elim

易见 \((x^{1/x}\pm 1/x)'=\small\dfrac{x^{1/x}(1-\ln x)\mp 1}{x^2}\)
由此及\(\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=1, \; a_1=2,\,a_2< 1< a_4< a_6,\) 知 \(\{a_{2n-1}\}\)
严格减趋于\(1,\;\{a_{2n+4}\}\) 严格减趋于\(1.\) 所以 \(a_2 < 1< a_n < a_1\,(n>2).\)

xfhaoym

谢谢e老师。

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！已收藏。