张奠宙：对中国数学教育的若干思考

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张奠宙：对中国数学教育的若干思考

代钦 中国科学院数学与系统科学研究院 2022-02-24 15:08

2011 年 5 月 4 日对著名数学教育家张奠宙教授进行了访谈，内容包括关于如何评价当今中国数学教育，将中国数学教育特色概括为课堂导入、尝试与探究、师班互动、数学思想方法、变式练习等 5 个方面；如何认识凯洛夫（苏联著名教育家）教育思想和弗赖登塔尔（荷兰数学教育家）数学教育思想。


图 1 张奠宙

01  中国教育

中国数学教育有哪些是重要的？20 世纪数学史发展得很好，21 世纪的今天如何看待自己的数学史，中国人要有自信，可以向任何国家学习。

中国教育方面现在好像都是外国的，似乎看不到有自己特色的东西。提到中国的教育，古代的教育家比较多，如孔子；近代的教育家有蔡元培、梁漱溟等，都是学校校长；建国后中国现代没有教育家。但中国人不能轻视自己，从古到今，特别是从辛亥革命以来，中国的数学教育一定有自己的好的东西，有自己良好的传统，可解放后就不行了，自己的东西不重视了。改革开放向国际拿来东西，但自己没有了。有些东西应当立起来，西方有自己的理论，中国也应该有强于西方，不同于西方的理论。

西方主要讲建构主义理论，而中国的课堂讲究创设情境，这是西方没有的。有人批判中国的教育不以人为本，课堂满堂灌，似乎是自己骂自己，但其实不是这样。因为我们的课堂时间是有限的，把几千年的知识在短时间内学完是不可能的，实际上中国的课堂也有自己的优点。

第一点要讲的是导入，中国的课堂讲究导入，西方则把认识论当成教学论。导入和创设情境是有区别的，不可能在每堂课都创设情境，创设情境不能天天搞，而导入是每堂课都能进行的。比如说耍猴的在开场前要开锣，敲锣和耍猴没关系，只是在创设情境。而假如一个老师教正弦定理时拿尺子测量三角形的边长，然后得出等式是成立的。这样则不对，因为正弦定理不是量出来的，不能搞情境。在三角形内部作一个高，左边角的正弦是这条高比斜边，右边角的正弦也是这条高比另一条斜边，这条高是中间变量，把等式联系起来。正弦定理的思想方法是同一条高的两种不同表示。就像我们两个人不认识，但都认识代老师，通过代老师我们俩就认识了，这样跟同学们讲，就很容易理解了。平面几何有大角对大边，小角对小边，平面几何是定性的，引入三角的好处就是把平面几何定量了。


图 2

导入是从苏联的凯洛夫开始的，到赫尔巴特的“五段论”，导入的价值和实行的办法是要思考的问题。导入强于创设情境，导入作为艺术在中国已经成形了，导入的价值，实行方法应该立起来，每节课都要导入。

这是第一点，第二点要讲的是尝试与探究。尝试是每天都可以做的，错了也没关系，尝试能调动积极性、主动性。尝试是天天用的，可以有错的结果。探究是属于尝试的一部分，是要有正确结果的。

第三点是合作学习。美国的课堂学习是分小组学习，分小组讨论后一个人说结果，但小组讨论效果不好。而中国是师班互动，不分小组学习。师班互动是中国教育的特色，是一大创造。举个例子：来中国访问的美国学者要求到最普通的农村小学听课，课堂是讲正方形的特征，讨论什么是正方形。上课后，教师问学生：“什么是正方形？”学生回答：“方方正正就是正方形。”教师又问：“什么是方方正正？”学生回答：“四边相等。”教师在黑板画出菱形，问学生：“这个图形是否是正方形？”学生说：“不是，因为它不正。”教师又在黑板上画一个矩形，学生回答：“不正确，因为这个图形不方。”……这样诸多回答。教师将学生回答的正确的结论都写在黑板上，回答不正确的不写，最后加以补充总结，抽象出正方形的定义，写在黑板上。这样一节课，通过师班互动就将正方形的性质全部呈现在黑板上，讨论后得出的结论学生很容易记住。这在中国人看来十分普通的一堂课，令美国学者十分感动。咱们东方不分组，学生较多，老师也照顾不过来。我曾经到美国的课堂听课，是分小组讨论学习。讲的是多边形，学生注意力不集中，有的学生不参与讨论，在练习本上画心形，课堂效果也不是特别好。所以说，我们中国的课堂还是有很多优点的。


图 3

第四点要讲的是数学思想方法。数学思想方法是中国人总结出来的，西方人不搞这个。华罗庚先生提出数形结合的思想方法，“数形结合百般好，隔离分家万事非”。徐利治先生也写了《数学方法论选讲》（可以在历史文章中搜索查阅），思想方法的总结是我们的又一个特色，应在《课标》里强调。未知数相当于不认识，拉一个关系就认识了，相当于等式。

第五点是熟能生巧。变式练习是中国的主要特色，包括问题变式、概念变式等。香港很多博士论文做变式练习，研究华罗庚的思想就是熟能生巧的表现，他说：“书由薄读到厚，再由厚读到薄。”书里面隐藏的东西太多。我们看书很多时候看到的只是结论与结果，写作的艰辛过程我们看不到。但我们要挖掘，去了解和探索它的过程，再提炼它的精髓。练的目的是要把背后的东西搞清楚，这就是“熟”，把重点的、好的东西总结出来就是“巧”。有些问题深入地挖掘一下，这是我思考的问题。

西方心理学解决不了我提出的这些问题，他们做的实验都是在小学中，只能解决一些小学生的问题，到初高中就不一定适用了。美国的小布什专门建立数学委员会，重视数学教育，中国就没有，中国开设的学科太多，国家标准不单提学科，只是总的框架，虚的。单单重视数学教育，语文怎么办？历史怎么办？少数民族的东西应该在教科书中增加部分少数民族特色的东西，新疆的一位老师对我说：在教科书中加入一个帐篷能怎样呢？对你们有什么不好呢？我们现在也用帐篷。蒙古包就是圆柱加圆锥。教科书的编写应该照顾少数民族的学生，每本教材里必须有少数民族的东西。用农村语言体现数学文化，也应该考虑少数民族文化特色就是我们中国的特色，我在这方面做得不够。“五四”运动以后，提出应该以科学救国，但抛弃了中国传统。拿外国的理论来批判中国的传统，中国开始学习西方的教育，其实“五四”运动只是批判，并没有继承。外国就比较注重自己传统的、优秀的东西，把传统的和现代的能融合在一起。美国就比较注重文化的多元化，能吸收外来东西也不放弃自己的传统。德国的山区、平原等多种地域的特征都反映在他们的论文中。

数学史方面，未来的中国公民应该知道数学文明最早不是在中国出现，最早是在古埃及和古巴比伦，但是中国有自己的特色，中国最早提出位置记数，负数的引入和算法体系等。要知道中国的数学史，对现代数学知识的融入也要重视起来。

02 教育家凯洛夫


图 4 教育家凯洛夫

有人说，凯洛夫的教育理论有很多人在批判，虽然当时也确实培养了一大批人才。但我最喜欢凯洛夫了，凯洛夫的东西是客观真理。杜威（美国，现代教育学的创始人之一）的实用主义教育在战争年代比较实用，因为战争时期时局动荡，社会就是学校，在实践中学习，但在和平年代不行，还是凯洛夫和赫尔巴特（德国，科学教育学的奠基人）的传统教育思想更适用于中国现代的教育。教育要符合教育规律，很多职业不允许创新，没有基础怎么创新？比如说护士不能随便创新，弄不好会死人的；交通警察必须遵照交通规则指挥交通。创新是在熟悉这个职业之后，有一定的经验才可能有所创新，要有自己的思考。在总结经验的基础上创新，供后人学习借鉴。对于中学生、大学生来说，理解了就是创新，不理解还让他们创新什么？

我们家装修的时候铺电路，我和那个小伙子聊天，我问他是什么学历，他答说是小学四年级，我说电路的知识是怎么来的？小伙子说是在实践中学到的，小伙子说数学知识最重要，其实实践中需要很多数学知识。比如说看指针表的时候必须通过一定的换算才能看懂，这就用到最基本的数学常识。我们的应试教育批判的太多，建设的太少。应试教育不是教育问题，而是社会问题所致。

03 教育家弗赖登塔尔


图 5 教育家弗赖登塔尔

要想了解弗赖登塔尔的观点就得读原著。关于弗赖登塔尔，我想说他的理论，一个是再创造，另一个是数学化。就这两个名字、两个词，大家像灌机油一样到处抹，我觉得弗赖登塔尔绝不是这么简单。我刚才说的思辨与程序性数学的区别，他也有很多好的案例，比如说我引用的“冰冷的美丽”，也是我从他的书中摘出的一句话，大家也都在说“火热的思考，冰冷的美丽”，这是非常精彩的话，这是弗赖登塔尔的话。我也常引用他的“巨人的手”这样的案例，我觉得“巨人的手”这个案例非常深刻地体现了弗赖登塔尔的思想。他并不是光说空话，现在我们很多教育家空话连篇，具体案例没有。他的具体案例不是小孩子玩游戏那种东西，他有深刻的内涵在里头。《数学教育再探》里面，可以发现一些新的东西出来，这增加了大家所了解的弗赖登塔尔思想的精髓。因为现在讲创新，所以再创造就被大家所认识，其实再创造对我们数学是很关键的。我们不能重复前人的道路，应该更有效地把前人失败的东西去掉，把更加有效的东西进行理解。现在有文章讲，是不是要重走科学家当年发掘的道路，这个行不行呢，这个不行。重走这个道路，你变成科学家去摸索，那不行，在这个重走里面你给我加一个限制词，怎么一个重走法，再创造怎么一个“再”法，这是我们现在需要弄清楚的，笼统地说，再创造重走有什么，我听见这种话是有点骗人的，话说得很漂亮，现在教育文章看起来要不就看不懂，要么就是漂亮话漂亮得不得了，什么以人为本、绿色的、什么生命之树，都讲这种东西。生命之树怎么生命化，数学学不好不及格怎么生命化，这些方面都没有，所以我觉得教育不能光说漂亮话。弗赖登塔尔不是说这种漂亮话的人，他是很实实在在地寻找一些规律。

04 函数概念的演变

初等和高等这两个观点，现在偏向就是说高等是现代的、正确的，而初等那个是粗糙的、不正确的，我认为不应该是这样的，函数的本源还是在变化，还是在变，我觉得初等这个是本源。函数里对应是看不见的，在普通的生活中，你看不见对应，看得见的是变化，你看见变化互相有这个关系。说一个老总上班看一个报表，这个报表就是一个函数，看看报表中我们定的价格合适不合适，产量高了还是低了，价格是销量的函数，销量大了，价格还可以提高。他是看这个变量，没有看哪一个集合，哪一个和哪一个对应，他看哪一个发生变化，今天销量太低了，那是不是价格要调整，要下调，他就看这两个变化，所以我觉得初中的是本质的。对应是我们的一种数学的表述，可以有多种表述。我还有一个想法就是说，函数是描写变化的，但是它是形而上学的，就是飞矢不动，一个时刻只在一个地方，这个时刻只在一个地方，永远不会动，它只是形而上学地描述了一种对应关系，它的变化、它的动态没有描写出来。

那么到微积分的时候就把这个动态给描写出来了，就是不光在这一点对应了什么，还有它的周围、它的邻域里面对应着什么，光一点画不出切线出来，讲速度一点画不出切线来，是飞矢不动的，旁边两点一弄，就有速度出来了，所以一旦有微积分出来之后，函数就活了，从初等阶段到高等的对应阶段到微积分的局部和整体的处理关系，这样 3 层就把函数的本质揭露出来了。过去在中学里面函数只有对应，现在看来只有对应不能描述函数。描述变化就必须加入局部，我们现在讲邻域，ε-δ 邻域，就是说旁边也有点，没有旁边的东西，函数还是不清楚的，它还是固定的一个点，所以像这种东西说的人比较少，函数概念本身的发展想作为一篇论文的话，我希望用一下美国的 David Tall 的 Advanced Mathematical Thinking ，就是《数学高级思维》。他就认为函数是一个高级思维的对象，他有很多例子判断是不是函数，这里都是研究小学生的，小学生的思维过程，专门研究高级思维过程，这里面是以函数作为基本代表的。APOS 理论也是以函数作为代表的，有很多教育理论来研究函数的著作，这方面除了函数本身概念发展之外，怎么教函数，怎么理解函数，现在需要更多的研究，作为一个思维过程，有什么特点应该加以注意，像 APOS 理论这样的说法对于函数教学还不够，函数教学还应该有一些像微积分加入以后对函数更深入的理解，就事论事谈函数的话，得不到太多的结果。


图 6 映射

来源：数学教育学报