对任何实数 x,y ，函数 f(x) 满足 f(xy+1)=af(y)-f(x)+t ，求 f(x)

中国上海市

f(xy+1)=af(y)-f(x)+t，求f(x)

Nicolas2050

有点好奇你的年龄？整天做题？


可以给你一个实际应用中的问题去研究。研究出来可以去华为工作。

任意凹多边形与凸多边形之间的最大距离如何计算？任意凹多边形与凸多边形之间的最小距离如何计算？

Nicolas2050

任务：因为信息管控及舆情工作控制的需要，单位工作群中的信息截图会自动产生水印附带上截图者的工号与姓名（视觉上无法察觉，可以在专门软件上检测出）；现在你的任务就是设计出一种方案来规避带水印的技术，达到信息自由传播目的。

luyuanhong

题 对任何实数 x,y ，函数 f(x) 满足 f(xy+1) = af(y)-f(x)+t ，求 f(x) 。

解   在 af(y)-f(x)+t = f(xy+1) 中，令 y = 0 ，就得到

        af(0)-f(x)+t = f(x 0+1) = f(1) ，

         f(x) = af(0)+t-f(1) 。

    其中 af(0)+t-f(1) 是一个与 x 无关的常数，所以，函数 f 恒等于一个常数 C 。

    将 f(xy+1) = f(y) = f(x) = C 代入 f(xy+1) = af(y)-f(x)+t ，就有

               C = aC-C+t ，(2-a)C = t 。

    所以，当 a ≠ 2 时，有 f(x) = C = t/(2-a) 。

    如果 a = 2 ，t = 0 ，则 f(x) = C 可以是任何常数。

    如果 a = 2 ，t ≠ 0 ，则无解。

cgl_74

5楼陆老师的做法，应为：C=t/(2-a)；当a=2时还要另做处理分析。

luyuanhong

谢谢楼上 cgl_74 指出！现已在解答中作了更正和补充。