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专访 George Lusztig 教授
George Lusztig 教授
策划 | 刘太平
访问 | 程舜仁、 王伟强、David Vogan
时间 | 2016 年 1 月 6 日
地点 | 中央研究院数学研究所（台湾）
整理 | 黄馨霈
来源 |《数学传播》2016 年 12 月（160）
George Lusztig 教授 1946 年生于罗马尼亚, 1968 年自 University of Bucharest 毕业, 1971 年取得美国普林斯顿大学硕士和博士学位。现为麻省理工学院Abdun-Nur 数学讲座教授, 以在表现理论及代数群的工作为人所知。2005 年获罗马尼亚科学院数学研究所授予荣誉院士, 为英国皇家学会、 美国人文与科学学院及美国国家科学院院士。2014 年获颁邵逸夫数学科学奖。2022 年沃尔夫数学奖得主，表彰“其对表示论及其相关领域的开创性贡献”。
程舜仁(以下简称“程”): 首先, George 谢谢你愿意接受访谈。我们先从下面的问题开始: 你什么时候知道自己对数学感兴趣?在怎样的年纪? 怎样的时间点?
Lusztig (以下简称“L”): 大概是 14 岁, 在那之前我对数学就很有兴趣, 但 14 岁才下定决心要当一位数学家。
程: 所以在进大学前, 你就知道自己想当数学家。
L: 对。
程: 了解。不过, 可能你也知道在华人的文化里, 父母通常……
L: 是因为八年级参加奥林匹亚竞赛, 那时我对这种国家奥林匹亚没什么概念, 不期待会有好的表现, 结果却出乎意料, 我就决定要认真花很多时间在上面。
王伟强(以下简称“王”): 在你初中的时候? 14岁?
L: 高中第一年的时候。
程: 你就读 University of Bucharest 的时候, 当时的数学系与西方的学校相较, 在课程上有什么不同？
L: 嗯, 很难比较, 非常不一样。首先, 大学要念五年, 但在最后两年必须做一些专题, 也许比较像硕士的学程。
程: 我要问的是, 进到大学只需要修数学课, 还是也需要修其它的?
L: 必须进到数学系, 通过入学考试, 决定自己喜欢的校系。
程: 所以不像在美国, 必须修其它数学以外的课……
L: 也不是, 举例来说, 学生得修马克思主义。每年都要修某些马克思主义的课, 五年中大概有两年要修。
程: 你学了什么? 我的意思是, 这些课教什么?
王: 我们在中国大陆有一门类似的课, 要学中国共产党的历史。
L: 对, 有一门辩证唯物主义, 是某种马克思主义哲学, 还有政治经济这类的主题, 但也都是马克思主义。此外我们还有教学教法的课。因为这个系基本上是为了培育师资, 所以我们要上教学教法, 另外第一年要上物理, 还有力学。
程: 所以是数学和力学的系, 跟俄罗斯的体系一样, 这回答了我第二个问题: 罗马尼亚的教育体系是否受到苏联影响? 显然在这所大学答案是肯定的。
L: 有个影响是, 市面上有许多俄文数学书, 翻译所有来自西方的东西, 每卷 Bourbaki 都有俄文翻译, 这些书定价极为低廉, 我能轻松购买, 相形之下比现在更负担得起。
程: 现在我们没人能买得起, 特别是 Elsevier 的期刊。
王: 你能读俄文吗?
L: 可以。
程: 想来你们在高中或大学俄文是必修?
L: 我们 4 年级到 11 年级都要学俄文, 大一大二也要。
程: 满多的。
王: 俄文是第二官方语言吗?
L: 不是。我们要修两种外语, 俄文是必修, 另一种可以选英文、法文或德文。
程: 所以你选的是?
L: 虽然理论上如此, 但也要看实际的开课状况, 不是每间学校都有这些选项。我修法文。
程: George, 你读 University of Bucharest 时, 有没有哪位教授影响你最深?
L: 有, 有位教授叫 Teleman。叫Teleman 的有好几位, 来自同一个家族, 有血缘关系。这位教授有四个兄弟都是数学家, 其中一位是我的教授。
程: 为什么你要到西方去?怎么去的?你离开罗马尼亚后直接去美国?
L: 不, 其实我先前到过西方一次, 又回到罗马尼亚。1968 年我参加意大利的暑期学术活动, 会后去了英国, 这其实是不被允许的, 但我去大使馆申请溯及既往的许可。回国半年后到德国波昂, 再去美国。其实, 我收到普林斯顿大学的邀请是因为 Atiyah 的关系。我第一次和 Atiyah 见面在牛津。
程: 我想不是每个人都知道 Atiyah 那时在普林斯顿。
L: 我 1968 年在牛津第一次见到他的时候, 他正要到普林斯顿。应聘的同时可以推荐一些年轻人到高等研究所, 他推荐我和他一起工作。所以 1969 年他已经在普林斯顿了。
程: 不, 你说过你先去了意大利。
L: 不是, 那是另一次, 是我第一次出国。先到意大利, 再到英国, 而后回罗马尼亚。我在牛津时就收到普林斯顿的邀请, 回国后申请去普林斯顿, 却遭到拒绝。
程: 那你怎么办?
L: 不过同时我也收到波昂 Arbeitstagung 的邀请。那个邀请被批准了, 因为时间短, 只有一周, 算是地方当局的权限, 长途旅行则需要中央批准。所以同一时间, 一个批准, 一个驳回。因此, 我先去了波昂, 从那里绕道去美国, 因为我没有美国签证。
程: 但你有普林斯顿的邀请函?
L: 对, 实际上我先去加拿大, 参加一场会议。在加拿大申请美国签证, 待了两个月, 之后才到普林斯顿。
程: 和 Michael Atiyah 一起做研究是怎样的情况?
L: 当然我不是他正式的学生, 他是非常杰出的数学家, 为人极好, 给了我很大的帮助。其实我们讨论, 又讨论, 几乎天天都在讨论, 那真的……
王: 你去 Warwick 之前在普林斯顿待了一年?
L: 两年。
Vogan (以下简称“V”): 他必须拿到博士学位。
王: 对, 才可以教书。但你的论文做的不全是 Lie theory, 对吗?
L: 对。
王: 你是怎样逐渐地或者迅速地转向 Lie theory, 或 Lie type 有限群(finite groups) 的研究?
L: Atiyah 当然懂一些 Lie theory, 对古典群表现(classical group representation) 知道的既多又精。但他对例外群(exceptional groups) 评价不高, 觉得不重要, 可以忽略。因此我知道的全都是指标理论(index theory) 的东西, Michael Atiyah 其实是拓朴学家。但是后来因为 Quillen 的一场演讲, 那时 Quillen 也在普林斯顿, 他用有限群表现(representation of finite groups) 的方法解决拓朴里的一些问题；事实上, 他利用 Brauer lifting 把有限群的模表现(modular representation) 提升成以复数为系数的 virtual representation, 类似 Green 以前做过的东西。其实那是非常深奥的定理, 没有其他拓朴学家意识到这样做, 很令人赞叹。他运用那个方法解决某些拓朴的东西, 我很感兴趣, 问 Atiyah 对于 Brauer lifting 有没有更明确的了解。因为 Quillen 从有限体 GLn(Fq) 的自然表现着手, 以某种方式与某些复表现, 它的 virtual representation 连结。我问他是否已经知道 virtual representation 的分量(components)? Atiyah 告诉我, 特征标(characters) 已经知道, 但实际的表现仍未知, 特征标是经由 Green 的工作为人所知。
王: 在type A?
L: 那只是标准的 GLn(Fq) 表现。这些分量中有一个是离散级数表现(discrete series representation), 仍未知, 已知的只有它的特征标。我开始有兴趣, 所以学的基本上是我需要的, 后来我对表现理论越来越感兴趣。
王: 那时已经有 Green 的 GLn(Fq) 特征标理论?
L: 对, 1955 年就出来了。有趣的是, 离开普林斯顿前我得到 Warwick 大学的聘书, Green 正好在那。我以为对于我想解决的这个问题那里会是个好地方。但我错了, 其实他身体不太好, 几乎从没到系里来。
王: 之后你在 Warwick 持续做哪方面的研究?
L: 对, 但 Carter 在那, 我跟他讨论, 他为我解释各种代数群, 我们合写了一些论文。最后我终于能解决这个问题。
王: 在那个阶段你还是只研究 type A?
L: 不, 我第一件事是藉由运用 Witt 向量的某个明确的模型, 找到方法来建构这个 GLn(Fq) 的离散级数表现。然后很快地我开始对古典群问相同的问题, 因为它们也有一个自然的表现。在做这个工作的时候, 透过对 Brauer lifting 的审视, 我开始对表现理论有些了解。
V: 以当时的技巧来看, 不可能做出这些古典群的特定表现；但另一方面, 经由你之后十年的工作, 这些却变得出奇地简单。不过想到这些问题曾经那么复杂, 简单其实只是貌似简单。是这样吗?
L: 基本上古典群在 Brauer 提升(lifting) 之下会发生什么情况？比方说 symplectic 群, 有 2n 个分量(component), 在模设置(modular setting) 里有 2n 维表现, 将这 2n 维表现提升, 其中之一实际上是与 Coxeter 环面(torus) 对应的一个离散级数, 但其它的也很困难, 不是离散级数, 却必须用离散级数分解。在 GLn 里, 所有其它的都是直接 induced , 完全没有被分解。在别的古典群中, 分解不是简单的工作, 我必须了解有不等参数的Hecke algebra(Hecke algebra with unequal parameters), 是我必须要用的 所以比 GLn 还来的复杂。这个方法只能建构一个级数, 但古典群有多个离散级数, 好几个非同构(non-isomorphic) 的环面。事实上我下了不少功夫, 最终做出些成果, 却从未发表, 只写了一些非常简短的摘要。其实那是相当不错的理论, 没有发表某方面是因为它已经过时。但这一切其实帮助我获得许多经验, 在其它方面对我也有很大的助益。
V: 所以听起来, 你可能做了一些几乎是为这些古典群写下特征标列表(character tables)的事, 无论如何, 你非常明确地计算了很多表现的特征标, 了解所有的共轭类(conjugacy classes)。每个做数学的人都必须做些这样的计算, 但有些人比其他人还要喜欢, 你喜欢计算吗? 你算的真不少。
L: 嗯, 我确实很喜欢计算。
王: 嗯, 那些计算是我从来没有真正念过的东西, 但我学过你的辫子群(braid group)计算, 过了 20 年仍然是个折磨。我教过辫子群几次, 总是选比较简单的类型来教, 但即便如此它还是非常复杂。即使到了今天, 我也从未尝试计算 G2 。
V: 你说过在 Bucharest 必须修一门教学的课, 你有没有从这门课学到什么?
L: 没有。
V: 但另一方面你提到 Teleman , 你是怎么学到如何写出好的数学论文和做出好的数学? 你追随和效法的对象是谁?
L: 我在大学时的确写了些论文, 但我不认为我从 Teleman 身上学了什么。从 Atiyah 那倒是学了不少, 我试着以他为典范；应该说从 Deligne 身上学到更多, 我学了他的写作方式。
王: 我读过一些 Atiyah 的文章, 我记得你们的风格不是很类似, 让我这么说吧!
L: 不像。
V: 读论文、听演讲, 目前为止你已经读过也知道许多人做的数学, 有没有哪些人是你认为大家应该效法的最佳典范?
L: Milnor 是我心目中的第一名, 一直有人告诉我他是这方面最厉害的数学家。他的书绝对是最好的, 他的演讲也是最好的, 是我的典范。
V: 你是否慎重考虑过回去做拓朴? 1970 到 1980 年代, 在你开始做有限群、约化群(reductive groups)等之后, 你势如破竹地解决问题, 同时又快速地开启新问题, 很难想见你会回去做一些其它的东西, 因为还有很多东西值得挖掘。
L: 现在还是这样。不过还有个原因, 我在普林斯顿时觉得自己会成为拓朴学家, 我知道 Dennis Sullivan , 和他有些接触。事实上我当时的印象是, 他在解决拓朴的所有主要问题, 那就是我之所以不做拓朴的原因。其实即使到现在, 我还是觉得表现理论比拓朴有更多有趣的问题。我觉得拓朴作为一个工具是非常有用的。
王: 古典群有更有趣的东西。
L: 但我发现拓朴作为一个目标, 本身并不那么有趣。
V: 我忘了是谁说的, 数学就像花园, 在土地上施肥浇灌是很重要的。
L: Hironaka 说的。
V: 对, 但有些部分的数学是花朵, 所以或许群和表现是一些花朵。数学里有许许多多崭新的想法由你切身参与创造。我的印象是, 绝大多数的新观点是在你有待解的问题, 却无法用现有的数学解决时出现, 所以你就造了个新东西来解决一个旧问题。你是否曾发掘一些东西, 只因为它看起来会是很有意思的想法? 我总感觉 Kac-Moody Lie 代数像人为造出来的, 因为在 Serre relations 写下来后, 我们或许会说:“嗯, 我们不需要它是有限维代数之类的, 所有的形式(formalism)还是做得出来。” 我的感觉是, 似乎没有多少理由要去做这个可以做得出来的数学。但你引入这个主题的新东西, 似乎总是为了来告诉你与旧问题有关的东西, 至少起初如此。
L: 其实我的印象是, 向来在我追寻某些目标的时候, 总是运气好, 机缘凑巧发生了些事情。举个例子, 某个时候我非常想了解如何分类古典群的表现, 与 Deligne 合写论文后我就很想知道, 觉得这是真正重要的问题。尽管 GLn 的情形已为人所知, 如何分类古典群的表现却仍全然未知。我并没有想出任何新方法, 我已经知道与 Deligne 合写的论文中的方法。但后来我遇见 Ree 和 Chang 这两位韩国数学家, 你们知道这两个人吗?
V: Ree group 的 Ree ?
L: 对, 还有另一个人是他的合作者。他们研究有限体(finite field) 上的 特征标。我在温哥华碰到他们, Chang 告诉我他有个学生, 刚算出古典型的任意不等参数的 Iwahori Hecke algebra (Iwahori Hecke algebra of classical type with arbitrary unequal parameters), 他有它们的构造和度数(degrees), 这小子实际上不再做数学了。这个消息来的正是时候, 于是我研究他的东西, 发现几乎就是我缺少的。像这样的事有好几次, 我只是碰巧得到正好缺少的东西, 它们刚好被送到我面前。
王: 但是如果那时没有那个方法, 你大概会硬着头皮自己解了。
L: 有可能。这些机缘接二连三而来, 在我了解这些古典群之后, 立刻发现某篇论文的抽印本里有人找到 E8 型 Hecke algebra 的generic degree 。
王: 对例外群感兴趣, 你可不是 Atiyah 的好学生。
L: 我真正想做分类 回到前面提到的 generic degree , 我从那里得到如何建构非阿贝尔傅立叶变换矩阵(non-abelian Fourier transform matrix)的一些想法, 因为上述论文里有 E8 的度数表, 可以看到它们头几项都有这样的系数, 1/120 , 1/24 ,……, 我从中看出一些模式(pattern)。不过这本抽印本来的时机正好。
王: 那些你都是自己动手算的, 对吗?
L: 不, 我没有做那些计算, 是别人算的。
程: 但我要说的是, 如果没有那些, 很有可能你会自己算, 是吗?
V: 嗯, 你有一些可以差遣的朋友。我的意思是, 最终你一定会需要所有 Weyl 群表现的分支表, 你不必自己算, 可以麻烦他们算, 不过要为结果负责。
L: 对, 即使在那之前, 我第一次用电脑是计算 fake degree , 在这项研究中我做了古典群的 fake degree , 我想知道例外群的 fake degree 。为此我找了 Warwick 的某个人, 告诉他计算规则, 他就帮我计算。那是我第一次用电脑。
王: 我想我知道他的名字, Beynon ? 他不是数学家。
L: 不是, 他是计算机科学领域的。
王: 所以对于 exceptional type 的计算有时没有电脑, 即便是你都觉得无望。
L: 对, 电脑带来很大的改变。大概在 1960 年代, 大家认为古典群简单, 而例外群较难。因为电脑的关系, 我想现在反过来了。
V: 我想问一个看似截然不同, 但或许也不是那么不同的事。Joanne Jonsson 是 MIT 数学系的行政人员。当然, 系上有很多人到各地开会, 他们常跟她聊起到过的地方, 她说她最喜欢听你跟她分享, 因为她说: “他看到每一样东西, 记得每一件事情。”你知道这件事吗? 我指的是显然你知道, 比起其他人, 你更能洞察某些数学的东西, 但你是否察觉到你对其他事物也是如此?
L: 我很讶异!
V: 你提到在种种因缘巧合下, 有现成的结果正是你需要的。不过数学世界里现成的成果比比皆是, 要找到合适可用的却未必那么容易。
L: 其实我会开始对量子群感兴趣, 是因为 Borel 写了封信给我, 他说 Michio Jimbo 有个工作我可能会感兴趣, 因为 Jimbo 做了些看似 Hecke algebra 的东西。他知道我对 Hecke algebra 有兴趣, 他说实际上 Hecke algebra 直接在 Jimbo 的工作里出现。他点出这点, 于是我研究量子群并且开了门课。
程: 那是什么时候? 哪一年?
L: 1986 。
王: 那篇论文在 86 年发表。我想我们可能对你在量子群的工作, 比你早期在李型有限群的工作知道的多一些。即使我翻过你早期的书一两次, 还是不确定自己吸收了多少。
L: 但我觉得李型有限群某方面来说, 比量子群来的有趣, 因为不知道结果, 很神秘。
王: 没错, 李型有限群的这些问题已经有 100 年那么老, 可说是一个古典的老问题。那么我们可以说引进几何方法是李型有限群的关键之一吗?
L: 确实, 没有几何的方法什么事也做不成。
V: 令人惊讶的是, Green 在 1950 年代就完整列出不可约 GLn 表现的表, 所以只要够努力, 似乎就能达成任何事。但也就是因为你和 Deligne 引进的几何方法, 才让其中的一些结果更清楚, 让人更明白什么必须是对的, 而不仅仅是某些可怕计算的结果。
L: 喔, Green 所有的文章都很令人赞叹, 他是唯一精通模表现的人, 所以能够用 Brauer 的方法。他是 Hall 的学生, 因此他知道关于 Hall 多项式的种种, 他用这个来定义 Green 多项式。他了解所有这些东西, 在他之前, Steinberg 在做这方面的研究, 但只做到 GL4 。
王: 我很确定对称多项式, Hall-Littlewood , 还有如何让所有这些东西运作, 确实需要对它们有所专精。不过回到量子群, 从 86 年到 94 这好几年间, 你都很专注在量子群上, 它是你的主要工作。
L: 对, 几乎有10 年之久。我研究两个理论, 其实是两件事: 一个是在单位(元)根的量子群(quantum groups at a root of unity), 试图了解它们对模表现的助益；另一个是 canonical basis 。
程: 那时我们还是学生。
王: 对, 那时候我还不懂 canonical basis , 虽然我上你的课时有抄笔记。
L: 但现在你了解颇深。
王: 但只有到了现在我才真的需要它。过去 5 到 10 年我已经被学生训练得很好, 不知怎的我被迫遭到不同学生以不同目的再教育。
L: 其实 Borel 是对的, 他可以看出了解 Hecke algebra 对我有帮助, 我就能把某些东西搬到量子群, 一点也不错。
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发表于 2022-2-26 09:26
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