多项和不定方程（丢番图方程）终于普及了

费尔马1

多项和不定方程（丢番图方程）终于普及了！
解下面的丢番图方程:
8A^2+7B^3+6C^4+5D^5=4E^6+3F^7+2G^8

费尔马1

如果解完了这个不定方程，我们就不需要再去解再多项和的不定方程了，因为我们已经找到了任意项和不定方程的解法了。学生希望老师们能踊跃解这个题。谢谢老师们！

lusishun

杨老先生，程先生又送上活了，不累，就试一试。
我是望尘莫及了。

lusishun

时刻伴随者网友，忙什么呢？不见出来，试试这题咋样。
您找到的哥猜证明的斗大的缺陷，还没有舍得往外放啊？很多人等着呢！

费尔马1

多项和不定方程（丢番图方程）终于普及了！
解下面的丢番图方程:
8A^2+7B^3+6C^4+5D^5=4E^6+3F^7+2G^8
其中一个答案是:
A=3^（420t+60）*20^（420k+360）
B=3^（280t+40）*20^（280k+240）
C=3^（210t+30）*20^（210k+180）
D=3^（168t+24）*20^（168k+144）
E=3^（140t+20）*20^（140k+120）
F=3^（120t+17）*20^（120k+103）
G=3^（105t+15）*20^（105k+90）
其中，t、k为自然数。

yangchuanju

费尔马1 发表于 2022-2-27 21:17
多项和不定方程（丢番图方程）终于普及了！
解下面的丢番图方程:
8A^2+7B^3+6C^4+5D^5=4E^6+3F^7+2G^8
...

仿费尔马解丢番图方程8A^2+7B^3+6C^4+5D^5=4E^6+3F^7+2G^8的方法，
解下面的丢番图方程：
10A^2+9B^3+8C^4+7D^5+6E^6=5F^7+4G^8+3H^9+2I^11
变形10A^2+9B^3+8C^4+7D^5+6E^6-5F^7-4G^8-3H^9=2I^11
10+9+8+7+6-5-4-3=28
设解的一种形式为：
A=2^(M1*t+N1)*28^(M1*k+L1)
B=2^(M2*t+N2)*28^(M2*k+L2)
C=2^(M3*t+N3)*28^(M3*k+L3)
D=2^(M4*t+N4)*28^(M4*k+L4)
E=2^(M5*t+N5)*28^(M5*k+L5)
F=2^(M6*t+N6)*28^(M6*k+L6)
G=2^(M7*t+N7)*28^(M7*k+L7)
H=2^(M8*t+N8)*28^(M8*k+L8)
I=2^(M9*t+N^9)*28^(M9*k+L9)
其中，t、k为自然数。
解之得：
A=2^(1995840*t+181440)*28^(1995840*k+1814400)
B=2^(1330560*t+120960)*28^(1330560*k+1209600)
C=2^(997920*t+90720)*28^(997920*k+907200)
D=2^(798336*t+72576)*28^(798336*k+725760)
E=2^(665280*t+60480)*28^(665280*k+604800)
F=2^(570240*t+51840)*28^(570240*k+518400)
G=2^(498960*t+45360)*28^(498960*k+453600)
H=2^(443520*t+40320)*28^(443520*k+403200)
I=2^(362880*t+32989)*28^(362880*k+329891)
检验
A^2=2^(3991680*t+362880)*28^(3991680*k+3628800)
B^3=2^(3991680*t+362880)*28^(3991680*k+3628800)
C^4=2^(3991680*t+362880)*28^(3991680*k+3628800)
D^5=2^(3991680*t+362880)*28^(3991680*k+3628800)
E^6=2^(3991680*t+362880)*28^(3991680*k+3628800)
F^7=2^(3991680*t+362880)*28^(3991680*k+3628800)
G^8=2^(3991680*t+362880)*28^(3991680*k+3628800)
H^9=2^(3991680*t+362880)*28^(3991680*k+3628800)
I^11=2^(3991680*t+362879)*28^(3991680*k+3628801)

10A^2+9B^3+8C^4+7D^5+6E^6-5F^7-4G^8-3H^9=(10+9+8+7+6+5+4+3)*2^(3991680*t+362880)*28^(3991680*k+3628800)=2^(3991680*t+362880)*28^(3991680*k+3628801)
2I^11=2*2^(3991680*t+362879)*28^(3991680*k+3628801)=2^(3991680*t+362880)*28^(3991680*k+3628801)

即10A^2+9B^3+8C^4+7D^5+6E^6-5F^7-4G^8-3H^9=2I^11
10A^2+9B^3+8C^4+7D^5+6E^6=5F^7+4G^8+3H^9+2I^11成立！

费尔马1

yangchuanju 发表于 2022-2-28 20:05
仿费尔马解丢番图方程8A^2+7B^3+6C^4+5D^5=4E^6+3F^7+2G^8的方法，
解下面的丢番图方程：
10A^2+9B^3 ...

解下面的丢番图方程:
8A^2+7B^3+6C^4+5D^5=4E^6+3F^7+2G^8
等价方程是，
4E^6+3F^7+2G^8－8A^2－7B^3－6C^4=5D^5
前老师解。

yangchuanju

费尔马1 发表于 2022-3-1 21:20
解下面的丢番图方程:
8A^2+7B^3+6C^4+5D^5=4E^6+3F^7+2G^8
等价方程是，

解下面的丢番图方程:
8A^2+7B^3+6C^4+5D^5=4E^6+3F^7+2G^8
的等价方程
8A^2+7B^3+6C^4+5D^5-4E^6-2G^8=3F^7
8A^2+7B^3+6C^4-4E^6-3F^7-2G^8=5D^5

费尔马第一个等价方程
8A^2+7B^3+6C^4+5D^5-4E^6-2G^8=3F^7的解，费尔马已经给出。
费尔马第二个等价方程
8A^2+7B^3+6C^4-4E^6-3F^7-2G^8=5D^5的解是：
A=5^(420t+168)*12^(420k+252)
B=5^(280t+112)*12^(280k+168)
C=5^(210t+84)*12^(210k+126)
D=5^(168t+67)*12^(168k+101)
E=5^(140t+56)*12^(140k+84)
F=5^(120t+48)*12^(120k+72)
G=5^(105t+42)*12^(105k+63)
检验：
A^2=5^(840t+336)*12^(840k+504)
B^3=5^(840t+336)*12^(840k+504)
C^4=5^(840t+336)*12^(840k+504)
D^5=5^(840t+335)*12^(840k+505)
E^6=5^(840t+336)*12^(840k+504)
F^7=5^(840t+336)*12^(840k+504)
G^8=5^(840t+336)*12^(840k+504)

8A^2+7B^3+6C^4-4E^6-3F^7-2G^8=(8+7+6-4-3-2)*5^(840t+336)*12^(840k+504)=5^(840t+336)*12^(840k+505)
5D^5=5*5^(840t+335)*12^(840k+505)=5^(840t+336)*12^(840k+505)
8A^2+7B^3+6C^4-4E^6-3F^7-2G^8=5D^5正确！
其中，t、k为自然数。
解的第一部分底数5来自D项的系数，第二部分底数12是另6项系数的代数和，
解的两部分指数的周期为7个指数的最小公倍数除以各自的指数，非周期部分复杂。