P,Q,T在ΔABC外，∠QAC=∠PAB，∠ACQ=∠ABP=∠TCB=∠TBC，M,N为PQ,BC中点，证：MN∥AT

denglongshan

期待上楼详细解答

uk702

denglongshan 发表于 2022-3-12 20:46
向量商的典型应用

邓老师您好！我有个疑惑不解想请教，欲证明 MN//AT，就需要证明 \( \frac{m-n}{a-t} \)是一个实数吧？但我觉得最 后计算出来的 \( \frac{m-n}{a-t} = \frac{(u-1) (v+1)}{2 u v-2} = \frac{u v+u - v -1}{2 u v-2} \)一定是个实数吗？

非常感谢。

uk702

uk702 发表于 2022-4-29 16:56
邓老师您好！我有个疑惑不解想请教，欲证明 MN//AT，就需要证明 \( \frac{m-n}{a-t} \)是一个实数吧？ ...

明白怎么回事了。

\( 由于\ \frac{(u-1)(v+1)}{2uv-2} = \frac{uv+u-v-1}{2uv-2} = \frac{1}{2}+\frac{u-v}{2uv-2}  \)
\( 故只要证明了 \frac{u-v}{uv-1} 是个实数，就能得到 \frac{(u-1)(v+1)}{2uv-2} 为实数的结论。  \)
\(  \)
\( 而 \frac{u-v}{uv-1} = \frac{(u-v)(\overline{uv}-1)}{(uv-1)(\overline{uv}-1)}  \)
\( =\frac{u \overline{uv} - u - v \overline{uv}  + v}{|uv-1|^2}  \)
\( =\frac{\overline{v} -u - \overline{u} +v}{|uv-1|^2}  \)
\( = 2 \frac{Re(v）-Re(u)}{|uv-1|^2} 是一个实数 \)

denglongshan

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