二项和函数不定方程的解

费尔马1

yangchuanju 发表于 2022-3-7 20:47
按杨的解法
A^（2n+1）+B^（2n+2）+C^（2n+4）=D^（2n+3）
的一个解是：

好！杨老师真乃数坛剑客啊！竟然可以得到函数不定方程的一题多解！谢谢老师参与。

yangchuanju

费尔马1 发表于 2022-3-7 20:55
好！杨老师真乃数坛剑客啊！竟然可以得到函数不定方程的一题多解！谢谢老师参与。

令杨的第1解中的周期部分为M，非周期部分为L，非周期部分亦可用M-L表示，但括号前要改为负号；
若k取0，解即为L；若k取1，解等于M-(M-L)=L，两解还是一个解：
项        M        —        —        —        L        —        —        —        M-L        —        —        —
次        n^3        n^2        n        n^0        n^3        n^2        n        n^0        n^3        n^2        n        n^0
A        8        36        52        24        4        16        20        8        4        20        32        16
B        8        32        38        12        4        14        14        4        4        18        24        8
C        8        24        22        6        4        10        8        2        4        14        14        4
D        8        28        28        8        4        12        10        3        4        16        18        5
若令杨的第1解的周期部分除以2（即M/2）仍然是方程的一个解，此解的周期部分M/2即为程的解的周期部分，除以2是因为2n+2和2n+4有公约数2；
用解的半周期数M/2减去L，即得程解的非周期部分，自此解开了我的两点迷惑：1.程解的非周期数究竟怎么计算出来的；2.为什么程解的非周期数次数低1级。
项        M/2        —        —        —        M/2-L        —        —        —
次        n^3        n^2        n        n^0        n^3        n^2        n        n^0
A        4        18        26        12        0        2        6        4
B        4        16        19        6        0        2        5        2
C        4        12        11        3        0        2        3        1
D        4        14        14        4        0        2        4        1
前曾介绍过，杨解的周期数等于ABCD的指数积分别除以ABCD各项指数的商数；程解的周期数应等于ABCD的指数最小公倍数分别除以ABCD各项指数的商；
杨解的ABC项非周期数等于ABC的指数积，乘以某个一次式，再除以ABC各项指数的商；
D项非周期数等于ABCD项指数积，乘以同一个一次式，加1或减1后，再除以D项指数的商；
用加1试除求得的非周期数前取正号，用减1试除求得的非周期数前取负号。

yangchuanju

因为M的3次项系数都是8，M/2的3次项系数都是4；L的3次项系数也都是4，M/2-L（程解的非周期数）3次项系数都变成了0，故程解的非周期数次数低了1级。