从带余数除法谈起

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从带余数除法谈起

作者 |  严士健(北京师范大学)，张宁生(北京师范学院分院)

来源 |《数学通报》，1985 年第 10 期

[编者按]本文原是北京师范大学严士健先生在北京市海淀区教师进修学校组织的报告会上所作的演讲的讲演稿。本文从带余数除法出发，推广到多项式环，欧氏环等讨论了类似问题，最后回过头来讨论了小学整数除法的理论根据。这对教师进修和教学都有参考价值。

带余数除法是一个比较古老的初等数论公式了，然而它很有用，不仅是整数的可约性理论的基础，而且可用以进一步解决多元一次不定方程、同余式、连分数等许多其它数论问题。但是在此并不打算这样展开，大家如有兴趣，可以系统学习初等数论的书。

在本文中，我们先介绍一下带余数除法，接着直接导出定理 2 ，它是可约性基本理论的出发点，然后从这些基本的东西出发，看一看某些近代的内容与它的相似性，比如多项式环、欧氏环等，最后，看一看小学算术中的整数除法的理论根据，也是耐人寻味的。

§1 带余数除法





由定理 2 可以导出整数的可约性理论，详情可参看闵嗣鹤、严士健：《初等数论》第一章 §3 推论 1.1(第 10 页)到 §4 推论 3.3(第 15 页)，但是该书应用辗转相除法导出本文的定理 2 ，其好处在于指出了它求最大公因数的方法，而本文导出定理 2 的过程则较为直接、抽象。

§2  在抽象代数中的推广

而且这种方法和思路在抽象代数中有很多推广，对抽象代数的发展有重要的启发，这一节的目的就是对于这一方面作一些介绍，先介绍用建立整数带余除法的办法可以建立有理数系数的多项式及高斯(代数)整数的带余除法，再加以综合，进而介绍欧氏环的概念以及有关问题。



人们把多项式、高斯整数以及其他例子的带余除法加以一般化，提出了欧氏环的概念，先介绍环及整环的概念。



按照 §1 所指出的方法及参考书可以建立欧氏环的可约性理论及标准分解式甚至还可以讨论更一般的主理想环的相应问题，不过限于篇幅，不在这里赘述，有兴趣的读者可以自己讨论或参考张禾瑞：《近世代数基础》第四章。

还应该指出：高斯整数环只是代数整数环的一个特例，关于代数整数有很丰富的理论，有兴趣的读者可参看华罗庚：《数论导引》第十六章。

§3 小学算术中的除法

§1 中的定理 1 所讲的带余除法只是一个存在性结果，并没有给出具体的算法，其实商数的和余数的具体求法还是小学课本中所讲的算法，但是那个算法的理论根据是什么呢？答案：是九九乘法表和 §1 中的定理 1 。这一节的目的就是要讲清这个问题，这也许对中小学老师理解课本的整数除法有些帮助，也说明中学老师学点初等数论是有好处的。

下面的推论和分析看起来有点复杂，实质上就是小学所讲除法的一般化和代数化，只要牢牢把握这一点，必要时举点例子帮助理解，就不会被那些复杂式子所迷惑。