求极限 lim(n→∞)(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/7)…(1-1/Pn)，其中 Pn 是第 n 个素数

彩色的豆高

题1

跪求极限：lim（1-1/2）（1-1/3）（1-1/5）（1-1/7）……（1-1/第n个素数）……的值

本人高中数学老师，用大学所学知识无法解出，烦请听过这个极限的各位前辈给讲讲，极限收敛，应有数值解

yichang

记 \(p_n\) 为第 \(n\) 个素数，则
\[
\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{1}{p_n}\right)=0
\]

这是因为，对于所有 \(a_n\in(0,1)\)，当且仅当 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) 收敛时，才有
\[
\prod_{n=1}^\infty\left(1-a_n\right)>0
\]
但我们知道，素数的倒数和 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p_n}\) 发散。

大傻8888888

根据梅滕斯定理：
当x→∞时，∏(1-1/p)=2e^(-γ)/lnx+O(1/(lnx)^2)，（其中p≤√x，e=2.71828.........是自然对数的底,γ=0.577215.........是欧拉常数，2e^(-γ)=1.1229......）
因此当x→∞时，∏(1-1/p)→0
另外王元在“谈谈素数”第36页有个证明x→∞时，∏(1-1/p)→0，高中生就可以看懂。

彩色的豆高

感谢大家的帮助，我弄明白了，数学中国论坛太强了，我也要在上面积极回答问题

luyuanhong