域内 1+1 为什么等于 0 ?

wufaxian

请看下图，1+1为什么等于0，n个1相加为什么又不等于0？

luyuanhong

上面一句话说的是：

在由集合 {0,1} 与普通的加法、乘法组成的域中，我们规定 1+1=0 。

下面一句话说的是：

对于任意的域 F ，除了 R,C 以外，还有个别的例子，其中 1+1+…+1≠0 。

上面说的是由集合 {0,1} 组成的这个特殊的域，下面说的是另外的一些域，两者并没有矛盾。

simpley

我认为1+1=0应是推理结果，不是规定。因为逆元是惟一的，1的逆不可能是0（因为0的逆是0）所以1的逆只能是1，所以1+1=0
另外，在布尔环中，任意元素a+a=0.此域是布尔环，所以也证得1+1=0

simpley

更直接的证法是，在群G中，任意元素a^|G|=0

wufaxian

luyuanhong 发表于 2022-3-22 08:11
上面一句话说的是：

在由集合 {0,1} 与普通的加法、乘法组成的域中，我们规定 1+1=0 。

谢谢lu老师的讲解。这是来源于《线性代数应该这样学》第一章第一节最后一段的内容。所以就本书来说我没有什么知识遗漏。但是在这本书之外，我不知道是不是有什么知识漏洞。关于这本书中给出的这个“域”的概念是不是线性代数以外的数学知识？是否有入门书籍推荐？


回到这个问题：
“上面一句话说的是：

在由集合 {0,1} 与普通的加法、乘法组成的域中，我们规定 1+1=0 。”

-------------既然说域是个“集合”。过去学过的“集合”的概念都是建立在“元素”基础上的。但是这段截图中却说“集合连同通常的加法和乘法运算也是域.”  这个集合怎么还包含了“加法和乘法”这两种运算方法方法？这个集合要怎么表示，比如表示成(1,2,3,+,*)? 这是个什么概念？

-------------“满足1.3中列出的所有性质。下图是1.3中的所有性质。根据这些性质也算不出1+1=0，除非要定义1 的加法逆元就是1自己？不过这个定义在一楼帖子的截图中也没有给出，而且这个定义也比较矛盾啊。一个元素的逆元怎么会是他自己呢？




”对于任意的域 F ，除了 R,C 以外，还有个别的例子，其中 1+1+…+1≠0 。“

------------- 在这本书中，R代表实数，C代表复数，F代表R或C 。目前我的认识”复数是由虚数和实数组成的是最大的,它包括所有的数“ ，如果”F代表R或C“，那么”任意的域 F ，除了 R,C 以外“是什么数？ 另外1+1+…+1≠0  怎么会是”个别例子“。这个不应该是普遍例子么？

simpley

数域最大的就是C。数域仅是域的一种。

simpley

0的定义是任何元素a+0=0
1的定义是任何除0外的元素a*1=a
元素a加的逆元b的定义是a+b=0
元素a乘的逆元c的定义是a*c=1
然后就是结合律，分配律成立（交换律不是必需的）
据此可推出集合中0，1是惟一的，任意元素a的加、乘逆元惟一
比如证明0惟一：假设还有x满足任意元素a+x=a.任意元素也包括0，则0+x=x=0,x+0=x=0(因为没有交换律，所以要分开写），说明x只能是0
上面加、乘只是借用了现成的词，只表示两种运算，没有具体的意义，但在特定的域中可以推理出通常加和乘的关系。

wufaxian

simpley 发表于 2022-3-23 00:30
0的定义是任何元素a+0=0
1的定义是任何除0外的元素a*1=a
元素a加的逆元b的定义是a+b=0

谢谢讲解，我再去找本其他的书看看。域的概念完全没学过