求证勾股数a、b、c中必有一条直角边是3...

费尔马1

求证勾股数a、b、c中必有一条直角边是3的倍数？

lusishun

程先生的最新猜想，我想凡是程先生提出的问题，一定是妙趣横生，咱们不妨试一试。

费尔马1

lusishun 发表于 2022-3-26 06:28
程先生的最新猜想，我想反是程先生提出的问题，一定是妙趣横生，咱们不妨试一试。

不是猜想啊！学生我已经证明了，过几天就发布。

费尔马1

请老师们踊跃参与解题活动，谢谢！

波斯猫猫

命题：在勾股数组（a、b、c）的两个较小的数中必有一个是3的倍数。

证：设勾股数组（x^2-y^2、2xy、x^2+y^2），

显然，x^2-y^2和2xy，或（x+y)(x-y）和2xy是其中较小的两个数。

下面分两种情形讨论。

1，若x是3的倍数或y是3的倍数，则命题显然成立。

2，若x和y都不是3的倍数，则有

（1）x=3r+1，y=3e+1，这时x-y=3(r-e)；

（2）x=3r+1，y=3e+2，这时x+y=3(r+e+1)；

（3）x=3r+2，y=3e+1，这时x+y=3(r+e+1)；

（4）x=3r+2，y=3e+2，这时x-y=3(r-e)；（其中r，e是自然数，且r＞e）

可以看出，对这四种情形总有x-y或x+y是3的倍数，即x^2-y^2是3的倍数。

综上，命题得证。

费尔马1

波斯猫猫 发表于 2022-3-26 20:41
命题：在勾股数组（a、b、c）的两个较小的数中必有一个是3的倍数。

证：设勾股数组（x^2-y^2、2xy、x^2+ ...

老师您好:
您的答案是正确的！非常感谢老师的解答！

费尔马1

本原勾股数公式:
勾股数的三个边为a、b、c，三个边皆为正整数，且两两互质。
㈠  a=（u^2－v^2）/2
b=uv
c=（u^2+v^2）/2
其中，u、v为互质的奇数，u>v。
把上面的本原勾股数公式去掉分母2后得到丢番图的勾股数通式:
㈡  a=u^2－v^2
b=2uv
c=u^2+v^2
其中，u、v为正整数，u>v
在证明勾股数必有一边含因子3、5的时候，因为是㈠*2 = ㈡，所以，采用㈡去证明是可以的。但在证明勾股数必有一个直角边是4的倍数时，就不能采用㈡了，需采用㈠。如果采用㈡，即证明勾股数必有一个直角边是8的倍数了。

费尔马1

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