一些极限悖论(2)

小学生学高数

上个帖子说明了1-1的值是无穷小，即证明了1＞1，那么反过来，1-1的值还可能是这个无穷小的数的相反数，就是说，证明了1-1的值既＞0又＜0，即1-1的值不存在.
如果1-1的值存在且是0，那么无穷小的值就＝0，这是违背了极限定义的，所以1-1的值不是0，但这违背了数的运算.
在极限思想中，出现了这样的悖论.这说明那一次数学危机波及的范围远不止无穷小.

春风晚霞

       路过。读了楼主对0.999…是否等于1的思考。在回答之前我想问问楼主关注这个问题的目的是什么？如果是自娱(俗称搞来耍)，那么在众网友的回复中你釆纳谁的意见均无大碍。
       一、如果是为了教学或辅导自已家的学生，那么楼主就应该釆纳elim先生的建议。因为jzkyllcjl先生的见解，尚未得到教育主管部门的认可，冒然釆用，多为你培养几个本科小学生、本科初中生那是无疑的。证明无限循环小数0.999…=1的方法较多，下面给出两种常用的证明方法：：
       1、反证法
       证明：假设无限循环小数0.999……<1，则存在纯小数c使不等式0.999……<c<1成立，由c>0.999……，于是根据逐位比较法：纯小数c在小数点的后边至少存在某一数位上的数字大于9，这与9是0到9这10个数字中的最大数矛盾。所以c不存在，故假设不成立。所以无限循环小数0.999……=1。
       2、解方程法
       证明：   设t= 0.9999…，则10t=9+0.999…即10t=9+t；解方程得：t=1    即是：0.999…=1。
       二、如果楼主关注这个问题是为了进一步学习现行实数理论，建议你考虑如下命题：
       命题：若\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}f(x)\)=A，则当x\(\to\)∞时，f(x)=A.
       证明：假设x\(\to\)∞时，f(x)≠A，则必有|f(x)-A|=α>0，令ε=\(α\over 2\)，存在N，当x>N时有|f(x)-A|=α>ε.∴\(\displaystyle\lim_{x\to \infty}f(x)\)≠A，这与已知\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}f(x)\)=A矛盾。所以假设x\(\to\)∞时，f(x)≠A不成立。所以\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}f(x)\)=A，则当x\(\to\)∞时，f(x)=A(即极限可达)。
       至于楼主提出的悖论，可结合极限可达性自行考虑。

jzkyllcjl

对于无穷小，菲赫金哥尔茨《微积分教程》一卷一分册，38-39页已经指出： “由于历史性形成的术语《无穷小》不是十分恰当的，希望不要引起读者的误解，……”事实上，无穷小是这样的一个变量，它仅在自己变化过程中，可以变为小于任意选取的数ε”。关于极限意义下的无穷小量的这个定义说明：1./n 或1/10^n 都是变量，而不是定数；虽然它们的极限值是0，但极限值具有变量性数列不可达到的性质，的事实需要被尊重。此外， 对于华东师大《数学分析》上册，34页数列极限的ε-N定义中的ε之前的定语“任给的正数”，wlim把它改用全称量词的做法也是概念混淆的做法，因此，小学、中学中的等式1/3=0.333……，π=3.1415926……，√2=1.41421356……都是概念错误的等式，这些等式右端的无尽小数都是以有尽小数为项的无穷数列的简写，它们 都是变数，而不是定数， 它们的趋向性极限值才等于左端的定数。

elim

jzkyllcjl 经常忘记告诉大家他是具有不住吃狗屎啼猿声性质的学渣．