对两道选择题错误解答的剖析

刘付来

1.设：\(f\left( x\right)=\begin{cases}
x-2，x\ge10\\
f\left[ f\left( x+6\right)\right]，x<10
\end{cases}\)
则：\(f\left( 5\right)\)的值为（）
A.10；B.11；C.12；D.13
所给解答是：
【解析】，解：\(\therefore f\left( 5\right)=f\left[ f\left( 5+6\right)\right]=f\left[ f\left( 11\right)\right]=f\left( 11-2\right)=f\left( 9\right)=f\left[ f\left( 9+6\right)\right]=f\left[ f\left( 15\right)\right]=f\left( 15-2\right)\)
\(=f\left( 13\right)=13-2=11\)
另一种解法是：
解：\(\because f\left( x\right)=\begin{cases}
x-2，x\ge10\\
f\left[ f\left( x+6\right)\right]，x<10

\end{cases}\)
\(\therefore f\left( x+6\right)=x\)
令\(x+6=t，x=t-6\)
\(\therefore f\left( t\right)=t-6\)
当\(t=5，f\left( 5\right)=5-6=-1\)
这两种解法都是错误的，那么错在哪？
两种解法中，都把\(f\left( x\right)\)和\(f\left( x+6\right)\)中的两个\(x\)当成了相等的量，事实上\(f\left( x\right)\)中的\(x\)与\(f\left( x+6\right)\)中的\(x+6\)是等价的，而\(f\left( x\right)\)中的\(x\)与\(f\left( x+6\right)\)中的\(x\)是不相等的。如果把这两个\(x\)当成相等的量，那么就形成了一个悖论：例如要求\(f\left( 5\right)\)将5代入\(f\left[ f\left( x+6\right)\right]\)结果推导出\(f\left( 13\right)=13-2=11\)
.因此，这两个\(x\)不相等是确定无疑的。那么正确解答是怎样的？笔者试作解答如下：
由于\(f\left( x\right)\)与\(f\left( x+6\right)\)中的两个\(x\)不相等，不妨把它们区别开，一个用X表示，一个用\(x\)表示，即：
\(f\left( X\right)=\begin{cases}

X-2{,}X\ge10\\
f\left[ f\left( x+6\right)\right]，X<10
\end{cases}\)
解：\(\because f\left( X\right)\)与\(f\left( x+6\right)\)是等价的
\(\therefore X=x+6\)
依题意：\(f\left( x+6\right)=X\)
又\(x+6=X\)
\(\therefore f\left( X\right)=X\)
故：\(f\left( 5\right)=5\)

一个题目中两个不相等的量用完全相同的字母表示，这本身就是一个错误。

2.（2020河南期末）已知\(f\left( x\right)=\begin{cases}
\left( 3a-2\right)x+6a-1，x<1\\
a^x，x\ge1
\end{cases}\)
在\(\left( -\infty，+\infty\right)\)上单调递减，哪么实数\(a\)的取值范围是（）
A.\(\left( 0{,}1\right)\);B.\(\left( 0{,}\frac{2}{3}\right)\);C.[\(\frac{3}{8}{,}\frac{2}{3}\));D.[\(\frac{3}{8}{,}1\))
所给的解答是：
解：\(x<1\)时，\(f\left( x\right)=\left( 3a-2\right)x+6a-1\)单调递减，故\(3a-2<0，a<\frac{2}{3}，\)
且\(x\to1\)时，\(f\left( x\right)\to9a-3\ge f\left( 1\right)=a，a\ge\frac{3}{8}\)
\(x\ge1\)时，\(f\left( x\right)=a^x\)单调递减，故\(0<a<1\)，
综上所述，\(a\)的取值范围是[\(\frac{3}{8}，\frac{2}{3}\)），故选C
这个解答错在\(x\to1，f\left( x\right)\to9a-3\ge f\left( 1\right)=a，a\ge\frac{3}{8}\)
\(9a-3\)与\(a\)没有可比性，也就是说\(9a-3\)不一定大于\(a\)通过计算可知，
\(a\ge\frac{3}{8}\)时，\(9a-3\ge a；\)当\(a<\frac{3}{8}\)时，\(9a-3<a\)
因此，\(x>1，f\left( x\right)\to9a-3\)与\(f\left( 1\right)=a\)没有可比性。
\(a\)取什么值使函数单调递减与此无关.
正确答案应该是\(\left( 0，\frac{2}{3}\right)\).

以上题目和解答选自盐课堂2021河南高一数学月考模拟试卷A（上学期）
错误之处，不吝赐教。