如何证明一个非零向量的伪逆？

wufaxian

请看下图，蓝线部分的结论我是理解的(u是列单位向量，v是行单位向量，\(\sigma\)是特征值)，但是如何用蓝线部分的结论证明绿线部分的结论呢？不能用特例说明，也不能用奇异值分解的一般方法来证明，只用蓝线部分的结论来证明绿线部分的结论。可行么？如果把一个列向量u看成列乘行的秩一矩阵u=\(\sigma uv^T\)=1*u*1,如果套用蓝线部分的结论，那任意非零向量的伪逆岂不就是他的转置\(u^T\)？

wufaxian

我思考如下，不知道是否正确，请各位老师指正。

将任意非零向量x看作秩一的矩阵，则\(x^{+ }\) =\(\frac{1}{\sigma}\)v\(u^T\)。奇异值分解可以看作旋转，拉伸，旋转。秩一矩阵只有一个奇异值，这个唯一的奇异值\(\sigma\)代表了“拉伸的长度”，因为矩阵只有一列，所以单列矩阵“拉伸的长度”，就是x的模长。也就是|x|=\(\sigma\)。首先要将列向量x转化成单位列向量u=\(\frac{x}{σ}\)。因此\(x^{+ }\) =\(\frac{1}{\sigma}\)v\(u^T\)=\(\frac{1}{\sigma}1\cdot\frac{x^T}{\sigma}=\frac{x^T}{\sigma^2}=\frac{x^T}{x^Tx}\)