已知 f(x+1)=x^2+2x+2 ，求 f(x) ；已知 f(x^(-1/2)+1)=x+3 ，求 f(x)

刘付来

例如：设，\(f\left( x\right)=x^2+2x+2\)
当，\(x=m+3\)时
则，\(f\left( m+3\right)=\left( m+3\right)^2+2\left( m+3\right)+2\)
若令\(m+3=t\)，则\(m=t-3\)
\(\therefore f\left( t\right)=t^2+2t+2\)
将\(m+3\)代换成\(t\)时，不会同时将\(x^2+2x+2\)中的\(x\)代换成\(t-3\)，因为\(m\)与\(x\)不相等。
但是，如果你设
\(x=x+3\)
则，题目就变成了：\(f\left( x+3\right)=x^2+2x+2=\left( x+3\right)^2+2\left( x+3\right)+2\)
这类题目，求\(f\left( x\right)\)的解析式，我知道有两种解法
解法一（我妄称为直接代入发）\(f\left( x+3\right)=\left( x+3\right)^2+\left( x+3\right)+2\)
令\(x+3=t，\therefore f\left( t\right)=t^2+2t+2，\therefore f\left( x\right)=x^2+2x+2\)
解法二（配凑法）\(f\left( x+3\right)=x^2+2x+2=x^2+6x+9-4x-12+5=\left( x+3\right)^2-4\left( x+3\right)+5\)
令\(x+3=t，\therefore f\left( t\right)=t^2-4t+5，\therefore f\left( x\right)=x^2-4x+5\)
这两种解法，我找不出毛病，那么，为什么会得出截然不同的答案？问题可能出在题目上？！
作进一步分析可知，第一种解法中，原式等号两边的两个\(x\)不相同（我妄称为不等价），如果你把它看成是等价的，就
会出现这样的解答：令\(x+3=t，x=t-3，\therefore f\left( t\right)=\left( t-3\right)^2+2\left( t-3\right)+2=......\)
明眼人一看就说，这不对！这就是说原式等号两边的\(x\)不等价。那么看第二种解法，配凑后
\(f\left( x+3\right)=\left( x+3\right)^2-4\left( x+3\right)+5\)显然，其等号两边的\(x\)是等价的。这个等式右边的\(x\)
还是不是原式右边的\(x\)，如果不是，，这就是说原式右边\(x\)，是它本身，又可以不是它自己（是非\(x\)）。我把这种互
相矛盾的情况妄称为悖论（我们老祖宗的矛盾论与后来洋人提出的悖论是否有相同之处有待专家斧正），只是想更能引起大家
的注意。

说明：我把原文作了较大的修改，是因为，一，原文有针对某讲义的嫌疑，二，原文中把“原来的函数"与”原函数“混为一
谈，所以删去了有关内容。三，原文太啰嗦。
请朋友斧正我的拙文，但请不要调侃我这个活了七、八十岁的\(han\)人。谢谢！

波斯猫猫

别han，地球人都知道这种类型的题显然该用待定系数法求解，而非“待定系数与代换法“求解。

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c，则f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c。

正确的是，若f(x)=ax^2+bx+c，则f(t)=at^2+bt+c。

你的问题出在，若f(x)=ax^2+bx+c，则f(t)=a(t-1)^2+b(t-1)+c。

波斯猫猫

对应法则f作用在自变量x上的结果用f(x)表示，结果为ax^2+bx+c，即f(x)=ax^2+bx+c。

仅有当x=t时，有f(t)=at^2+bt+c。

按对应法则f在此的含义（自变量平方的a倍加自变量的b倍加常数c），

应有f(t-1)=a(t-1)^2+b(t-1)+c，而非f(t)=a(t-1)^2+b(t-1)+c。

刘付来

请解这些题：
1，已知\(f\left( x+1\right)=x^2+2x+2\)，则\(f\left( x\right)\)的解析式为——
2，已知\(f\left( x^{-\frac{1}{2}}+1\right)=x+3\)，则\(f\left( x\right)=\left( \right)\)
A,\(x^2-2x+2{,}\left( x\ge0\right)\),B,\(x^2-2x+4{,}\left( x\ge1\right)\)
C,\(x^2-2x+4{,}\left( x\ge0\right)\),D,\(x^2-2x+2{,}\left( x\ge1\right)\)

波斯猫猫

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原函数 播报 编辑 讨论1 上传视频
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原函数是指对于一个定义在某区间的已知函数f(x)，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都存在dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。 [1]

注：“原函数“是一个概念，“原来的函数“是一个“短语”，其含义截然不同。
如：一个函数的反函数和它“原来的函数“互为反函数。

波斯猫猫

1，若f(x+1)=x^2+2x+2，则f(x+1)=(x+1)^2+1，即f(x)=x^2+1（凑成法）。

待定系数法：若f(x+1)=x^2+2x+2，则f(x)必为二次函数。设f(x)=ax^2+bx+c，

则f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c=ax^2+（2a+b）x+a+b+c=x^2+2x+2。

解得a=c=1，b=0。故f(x)=x^2+1。

2，已知f(x)=1/(x-1)^2+3（x＞1），则f(1/√x+1)=1/[(1/√x+1)-1]^2+3=x+3。

tmduser

已知 f( g(x) )=F(x)
令t=g(x),  x=\(g^{-1}\)(t)，代入得：
f(t)=F( \(g^{-1}\)(t) )
哪有什么悖论，是不是想太多了

刘付来

受益了，谢谢！

刘付来

给贵坛的一封信
尊贵的领导，您好。
我是贵坛一小小网民，因一篇《不要被一个悖论迷住了双眼》引起了小小的风波。反方有的观点我是赞成的，比
如，“原来的函数”与“原函数”是不同的概念，我在拙文中混为一谈，我受益了，谢谢。有的是误解，比如\(f\left( t\right)=f\left( t-1\right)......\)，反方指出是错的，而我的拙文对此也是批判的，可以说观点是一致的。
而反方的两种解题方法用到同一题目，却不能自圆其说，我有责任质疑。因此，我请求贵坛发表我的最后一篇回
贴《请解开这个结》。至于谁对谁错都无关系，只要澄清了这问题，以后学子遇到这类题目不再迷茫，老师批改不再为难，足矣。从此，我退出贵坛，也不想再跑到别的坛去多嘴多舌，天天喝喝茶，玩玩牌怡享天年，何乐
而不为。
希望能答应我的请求，
此致，
贵安！
2022.4.12，刘付来