已知复数 z,w 满足 zw-2iz-iw-5=0 ，｜z｜=2 ，证明 w 的轨迹是复平面上的一个圆

wintex · 发表于 2022-4-27 04:42

為何 w 的軌跡是圓？

liangchuxu · 发表于 2022-4-27 09:01

本帖最后由 liangchuxu 于 2022-4-27 14:58 编辑

不好意思，看错了。把别处题搬过来

波斯猫猫 · 发表于 2022-4-27 10:06

题：已知复数 z,w 满足 zw-2iz-iw-5=0 ，｜z｜=2 ，证明 w 的轨迹是复平面上的一个圆。

思路：由zw-2iz-iw-5=0有，(w-2i)z=iw+5，即∣(w-2i)∣.∣z∣=∣iw+5∣。

令w=x+yi，则由｜z｜=2 有，2∣(w-2i)∣=∣iw+5∣，即2∣x+(y-2)i)∣=∣5-y+xi∣。

故4[x^2+(y-2)^2]=(5-y)^2+x^2，或x^2+(y-1)^2=4。

波斯猫猫 · 发表于 2022-4-27 10:18

题：已知复数 z,w 满足 zw-2iz-iw-5=0 ，｜z｜=2 ，证明 w 的轨迹是复平面上的一个圆。

思路：令z=a+bi，则a^2+b^2=4。由zw-2iz-iw-5=0有，w-i=(iz+4)/(z-i)。

故∣w-i∣=｜iz+4｜/｜z-i｜=｜4-b+ai｜/｜a+(b-1)i｜=2 (代入a^2+b^2=4，极易化简)。

luyuanhong · 发表于 2022-4-27 12:09

楼上波斯猫猫的解答很好！已收藏。

wintex · 发表于 2022-4-27 13:19

請問一般圓的複數表式法為何？有幾種表式？

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已知复数 z,w 满足 zw-2iz-iw-5=0 ，｜z｜=2 ，证明 w 的轨迹是复平面上的一个圆

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