ΔABC 中，AB=AC，A,E,F 三点共线，EB∥CF，∠EBA、∠FCA 平分线交于 G，求证：GA∥EB

uk702

如图，等腰 △ABC 中，AB=AC，直线 n 经过 A 点，E、F 是 n 上的两个点且满足 EB // CF，

∠EBA、∠FCA的角平分线相交于G，求证AG//EB。

kanyikan

用同一法好像可以证明

uk702

使用复数法硬解，求更好的方法（同一法除外）。

\( 下文中 \lambda，\lambda_1，\lambda_2，\lambda_3 均表示某个实数。\)

\( 设 A= 0+0 i，\ |AB|=|AC|=1，\ 则有 \  C = \frac{-1}{B}   \)
\( EB ∥ FC \implies F-C = \lambda_1 \ (E-B)  .......... (1)  \)
\( GB 平分∠EBA \implies \frac{A-B}{G-B} = \lambda_2  \frac{G-B}{E-B}  ........... (2)  \)
\( GC 平分∠FCA \implies \frac{F-C}{G-C} = \lambda_3  \frac{G-C}{A-C} ........... (3)  \)
\( 将 (1) 代入 (3) 并重写 \lambda_3，则有：   \)
\( \frac{E-B}{G-C} = \lambda_3 \frac{G-C}{A-C}，\)
\( 根据 A= 0，整理并重写 \ \lambda_3，得 \ (G-C)^2 = \lambda_3 \ (E-B) \ C \)
\(  \)
\(  \)
\( 又 (2) 整理得 \  0 = A = \lambda_2 \ \frac{(G-B)^2}{E-B}  + B  \)
\( ∴ （重写 \lambda_2）\ E-B = \lambda_2 \ \frac{(G-B)^2}{B}   \)
\( ∴ \ (G-C)^2 = \lambda \frac{(G-B)^2 \ C}{B}  \)
\( ∴ 将 C = - \frac{1}{B} 代入，并重写 \ \lambda，得 \ G+\frac{1}{B} = \lambda \frac{G-B}{B} \ i， \)
\( 解得 \ G = -\frac{1+\lambda B \ i}{B-\lambda \ i} = - \frac{B \overline{B} + \lambda \ B \ i}{B -\lambda \ i} = -B \ \frac{ \overline{B} + \lambda \ i} {B - \lambda \ i} \)
\( ∴ |G| = 1，即 \ AG=AB=AC，由此得 AG∥EB∥FC \)

shuxuestar

先不管题，如图进行第一步在基础等腰三角形顶点a偏角做两菱形，得到边角关系，

过顶点做n直线去截取两边点，删除部分线段得题设。

反过来一样偏移了与题设矛盾，即可证明。 其实这道题不需要证明，如图方法看见不证自明.........





此外得到一个几何关系：三角形外心

uk702

改编自某题，原题中 EBCF 为长方形，求证 GA ⊥ BC。

shuxuestar

   
    方法知道了要逆溯证明是极其简单的