无穷级数相乘怎么计算？

wufaxian

请看下图，要证明红框中的性质1。其中\(e^{A+B}\) 容易得到。但是\(e^A\)\(e^{B}\) 如何得到呢？无穷级数相乘的表达式要怎么给出呢？

elim

由于这些矩阵项级数都绝对收敛，其乘积亦然，可以重排。所以就有
\(e^Ae^B=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac{A^k}{k!}\sum_{m=0}^\infty\frac{B^m}{m!}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\frac{A^k}{k!}\frac{B^{n-k}}{(n-k)!}\)
\(\qquad\displaystyle=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}A^kB^{(n-k)}\;\overset{\small AB=BA}{=\hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm}=}\sum_{n=0}^\infty\frac{(A+B)^n}{n!}=e^{A+B}\)

wufaxian

elim 发表于 2022-5-7 03:02
由于这些矩阵项级数都绝对收敛，其乘积亦然，可以重排。所以就有
\(e^Ae^B=\displaystyle\sum_{k=0}^\inft ...

谢谢讲解。由于我相关知识的欠缺，你的讲解有几个地方不太明白：
1、\(\frac{A^{K }}{k!}\)   敛散性如何证明？主要是现在分子是矩阵，而不是一个简单的实数。这里我有点困惑。

2、\(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\)   这个符号是什么意思？

elim

记 \(M=(M_{ij})_{n\times n}\) (\(M\)的第\(i\)行\(j\)列的元素是\(M_{ij}\)),  则\(\dfrac{M}{n!}=\left(\dfrac{1}{n!}M_{ij}\right)_{n\times n}\)
令 \(\|M\|=\displaystyle\max_{1\le i,j\le n} |M_{ij}|,\,\)则\(\|AB\|\le n\|A\|||B\|\) 所以
\(|(A^k)_{ij}|\le n^k\|A\|^K\)
进而 \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac{|(A^k)_{ij}|}{k!}\le e^{n\|A\|}\) 即 \(e^A\) 的每个元素都是绝对收敛的级数.
在这个意义上\(e^A\) 是一个绝对收敛的矩阵级数. 易见 \(\|AB\|,\|BA\|\le n^2\|A\|\|B\|\)
由此可得以\(\dfrac{A^kB^m}{k!m!}\)为项的级数绝对收敛。因此可以任意排列.

\(\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}=C_n^k\)是组合数.

参见 \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}\sum_{m=0}^\infty\frac{y^m}{m!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(x+y)^n}{n!}\) 的证明. (\(x,y\in\mathbb{C}\))

wufaxian

elim 发表于 2022-5-8 15:53
记 \(M=(M_{ij})_{n\times n}\) (\(M\)的第\(i\)行\(j\)列的元素是\(M_{ij}\)),  则\(\dfrac{M}{n!}=\left( ...

谢谢回复。我先收藏了。