f(x) 是首项系数为 1 的三次多项式，当 n=1,2,3 时有 f(7n+8)+8n+7=0 ，求 f(36)

wintex

002 請問多項式

luyuanhong

wintex

luyuanhong 发表于 2022-5-7 19:04

陸老師：這是為什麼？謝謝。   g(4) - 3g(3) + 3g(2) - g(1) = 0
g(x) = f(7x + 8) - (7x)^3
g(1) = f(15) - 7^3
g(2) = f(22) - 8 * 7^3
g(3) = f(29) - 27 * 7^3
g(4) = f(36) - 64 * 7^3
g(4) - 3g(3) + 3g(2) - g(1) = 0
f(36) - 64 * 7^3 - 3f(29) + 81 * 7^3 + 3f(22) - 24 * 7^3 - f(15) + 7^3 = 0
f(36) = 6 * 7^3 + 3f(29) - 3f(22) + f(15) = 2058 - 93 + 69 - 15 = 2019

luyuanhong

我过去在《数学中国》发表过一个帖子，其中说到数学中有这样一个结论：

    若 f(x) 是一个 n 次多项式，则 f(x) 的大于 n 阶的差分都等于 0 。

其中说的“ n  阶差分”的定义如下：

设 x1,x2,x3,… 是一些等距节点，则

一阶差分就是     Δy = f(x2) - f(x1) 。

二阶差分就是    Δ^2y = f(x3) - 2 f(x2) + f(x1) 。

三阶差分就是    Δ^3y = f(x4) - 3 f(x3) +  3 f(x2) - f(x1) 。

四阶差分就是    Δ^4y = f(x5) - 4 f(x4) +  6 f(x3) -  4 f(x2) + f(x1) 。

     ……

在本题中，已知 f(x) 是一个首项系数为 1 的三次多项式，所以 f(7x+8) 就是一个变量 x 的

首项系数为 7^3  的三次多项式，减去首项后，g(x) = f(7x+8) - (7x)^3 就是一个二次多项式。

因为二次多项式的三阶差分必定等于 0 ，所以必有

  g(4) - 3 g(3) + 3 g(2) -g(1) = 0 。

luyuanhong

malingxiao1984

根据题意，1、2、3是关于n的3次多项式f(7n+8)+8n+7的根，
而f(x)是首一多项式，所以
f(7n+8)+8n+7=343(n-1)(n-2)(n-3)，
上式令n=4，得f(36)+39=343*3*2*1
从而f(36)=2019

luyuanhong

楼上 malingxiao1984 的解答很好！已收藏。